MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 187

Każdy wykres $g$ jest prostą równoległą do $f(x)=2x$.

a) $g=f-4$: przesunięcie o $4$ jednostki w dół; prosta przechodzi np. przez $(0,-4)$ i $(2,0)$.

b) $g=f+3$: przesunięcie o $3$ jednostki w górę; prosta przechodzi przez $(0,3)$ i $(-\frac32,0)$.

c) $g=f-1$: przesunięcie o $1$ jednostkę w dół; prosta przechodzi przez $(0,-1)$ i $(\frac12,0)$.

Wykres $f(x)=-|x|$ ma największą wartość $0$ i jest nieograniczony z dołu. Przesunięcie pionowe zmienia największą wartość o tę samą stałą.

a) Przesuwamy o $1$ w górę, więc maksimum wynosi $1$.

b) Przesuwamy o $2$ w dół, więc maksimum wynosi $-2$.

c) Przesuwamy o $0{,}5$ w górę, więc maksimum wynosi $0{,}5$.

Przesunięcie do wykresu $g$ dodaje $3$ do każdej wartości, a do wykresu $h$ odejmuje $2$.

a) Z wykresu $f$ odczytujemy minimum $-4$ i maksimum $2$. Stąd dla $g$ są to $-1,5$, a dla $h$ — $-6,0$.

b) Minimum i maksimum $f$ to $-3$ i $3$. Po przesunięciach otrzymujemy dla $g$: $0,6$, a dla $h$: $-5,1$.

c) Najmniejsza wartość $f$ wynosi $-3$. Kres górny $4$ nie jest osiągany z powodu otwartego końca odcinka, więc największa wartość nie istnieje. Dla $g$ minimum wynosi $0$, a dla $h$ — $-5$; maksimum nadal nie istnieje.

Stałą przesunięcia odczytujemy z położenia charakterystycznego punktu wykresu.

a) Wierzchołek $f=-x^2$ to $(0,0)$, wykres $g$ ma wierzchołek $(0,3)$, a $h$ — $(0,-2)$. Zatem $g(x)=-x^2+3$, $h(x)=-x^2-2$.

b) Początki wykresów leżą w punktach $(0,0)$, $(0,2)$ i $(0,-3)$. Stąd $g(x)=\sqrt{x}+2$, $h(x)=\sqrt{x}-3$.

c) Punkty przegięcia dla $x=0$ mają rzędne $0,4,-4$. Zatem $g(x)=x^3+4$, $h(x)=x^3-4$. Funkcje sześcienne nadal mają zbiór wartości $\mathbb R$.

a) Jeśli $(0,0)$ leży na wykresie $f$, to $g(0)=f(0)+4=4$. Jeśli leży na wykresie $g$, to $f(0)=g(0)-4=-4$. Drugi wykres przecina więc oś w $(0,4)$ albo $(0,-4)$.

b) Jeśli $f(0)=0$, to $g(0)=-3$; jeśli $g(0)=0$, to $f(0)=3$. Otrzymujemy punkty $(0,-3)$ albo $(0,3)$.

Miejsce zerowe funkcji $g$ spełnia

$0=g(x)=f(x)-3,$

czyli $f(x)=3$. Z treści wiadomo, że jedynymi punktami wykresu $f$ o tej rzędnej są $A(-8,3)$ i $B(3,3)$.