MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 185

Porównujemy wzory parami.

a) Warunek $f(x)<g(x)$ daje

$\frac12x+2<2x+2\quad\Longleftrightarrow\quad x>0,$

a warunek $g(x)<h(x)$ daje $2x+2<-x+8$, czyli $x<2$. Oba zachodzą dla $0<x<2$.

b) Pierwsza nierówność ponownie daje $x>0$. Ponadto

$\frac12x+2<-x+8\quad\Longleftrightarrow\quad x<4,$

więc $0<x<4$.

c) Dla $x=123$ mamy

$h(123)=-115,\quad f(123)=63{,}5,\quad g(123)=248.$

Rozwiązania graficzne są odciętymi punktów przecięcia odpowiednich wykresów; rachunek potwierdza odczyt.

a)

$\frac3x=\frac13x\quad\Longleftrightarrow\quad x^2=9,$

więc $x=-3$ lub $x=3$.

b)

$-\frac2x=1-x\quad\Longleftrightarrow\quad x^2-x-2=0,$

czyli $(x-2)(x+1)=0$ i $x\in\{-1,2\}$.

c)

$\frac4x=-x+2\quad\Longleftrightarrow\quad x^2-2x+4=0.$

Delta wynosi $-12$, więc wykresy nie mają punktu wspólnego.

Wykres $y=1/x$ leży w I i III ćwiartce, a prosta $y=-2x$ w II i IV, więc nie mają punktów wspólnych. Rachunkowo

$\frac1x=-2x\quad\Longleftrightarrow\quad 1=-2x^2,$

co nie jest możliwe dla liczby rzeczywistej $x$.

a)

x^2+3x-4\leq0.$$ Ponieważ $(x+4)(x-1)\leq0$, otrzymujemy $-4\leq x\leq1$. **b)** Oznaczmy $t=|x|\geq0$. Wtedy $$\frac12t^2>t\quad\Longleftrightarrow\quad t(t-2)>0,$$ zatem $|x|>2$. **c)** Dla $x\neq0$: $$\frac6x<x+1\quad\Longleftrightarrow\quad \frac{(x+3)(x-2)}{x}>0.$$ Punkty krytyczne to $-3,0,2$. Tabela znaków daje dodatni iloraz na $(-3;0)$ i $(2;\infty)$.

Różnicę funkcji rozkładamy na czynniki:

$f(x)-g(x)=x^2-x-2=(x+1)(x-2).$

Stąd wykresy przecinają się dla $x=-1$ i $x=2$, parabola leży nie wyżej od prostej pomiędzy tymi liczbami, a wyżej poza nimi.

Iloczyn ma postać

$f(x)g(x)=x^2(x+2).$

Zeruje się dla $x=-2$ lub $x=0$. Ponieważ $x^2>0$ dla $x\neq0$, znak iloczynu poza zerami jest znakiem czynnika $x+2$.

Wyznaczamy liczbę przecięć wykresu z prostą poziomą $y=m$.

Pierwsza gałąź $y=x+3$ dla $x<-1$ ma zbiór wartości $(-\infty;2)$ i dla każdego $m<2$ daje jedno rozwiązanie. Trzecia gałąź $y=3-x$ dla $x>1$ ma ten sam zbiór wartości i także daje jedno rozwiązanie dla $m<2$.

Środkowa gałąź $y=2|x|$ na $\langle-1;1\rangle$ ma zbiór wartości $\langle0;2\rangle$: dla $m=0$ daje jedno rozwiązanie, dla $0<m\leq2$ — dwa, a poza tym — żadnego. Po zsumowaniu liczby przecięć otrzymujemy pełny podział względem $m$.

Liczymy przecięcia prostej $y=m$ z każdą gałęzią.

Gałąź $-x-2$ dla $x<-2$ ma zbiór wartości $(0;\infty)$; daje jedno rozwiązanie dla $m>0$. Odcinek $2x+2$ dla $-2\leq x\leq1$ ma zbiór $\langle-2;4\rangle$; daje jedno rozwiązanie dla $-2\leq m\leq4$. Gałąź $4/x$ dla $x>1$ ma zbiór wartości $(0;4)$; daje jedno rozwiązanie dla $0<m<4$.

Sumując te liczby, dostajemy

0&\text{dla }m<-2,\\ 1&\text{dla }-2\leq m\leq0\text{ lub }m>4,\\ 3&\text{dla }0<m<4,\\ 2&\text{dla }m=4. \end{cases}$$ Funkcja $g$ przyjmuje więc wszystkie cztery liczby całkowite od $0$ do $3$.