MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 183

Jedna kratka pozioma oznacza $10$ minut. Basia idzie od chwili $0$ do $3\ \mathrm{h}$. Karol wyrusza po godzinie i dociera po $1\ \mathrm{h}\ 50\ \mathrm{min}$ jazdy. Wykresy przecinają się $1\ \mathrm{h}\ 40\ \mathrm{min}$ po jego wyjeździe.

Poziome odcinki Basi trwają łącznie $30$ minut, a Karola $50$ minut. Największa pionowa odległość wykresów po wyjeździe Karola występuje po $50$ minutach. W pierwszych $10$ minutach Karol przejeżdża $2\ \mathrm{km}$, więc

$v=\frac{2}{1/6}=12\ \mathrm{km/h}.$

Średnie prędkości na całej trasie są równe

$$v_K=\frac{10}{11/6}=\frac{60}{11}\ \mathrm{km/h}.$$

Punkty przecięcia spełniają równania obu funkcji.

a)

$\frac8x=x^2\quad\Longleftrightarrow\quad x^3=8,$

więc $x=2$ i $y=4$.

b) Dziedzina pierwiastka wymaga $x>0$. Mamy

$\frac8x=\sqrt{x}\quad\Longleftrightarrow\quad x^{3/2}=8,$

stąd $x=4$ i $y=2$.

Punkt przecięcia wyznaczamy z równania

$\frac12x-2=3x-7.$

Stąd $5=\frac52x$, więc $x=2$ i $y=-1$. Dla porównania wartości:

$\frac12x-2<3x-7\quad\Longleftrightarrow\quad x>2.$

Po drugiej stronie punktu przecięcia zachodzi nierówność odwrotna.

Z wykresu odczytujemy drogi po kolejnych godzinach: $0$, $75$, $100$, $200$ i $250\ \mathrm{km}$. Prędkości w kolejnych godzinach wynoszą więc $75$, $25$, $100$ i $50\ \mathrm{km/h}$.

Średnia na całej trasie to $250:4=62{,}5\ \mathrm{km/h}$, a w dwóch ostatnich godzinach $(250-100):2=75\ \mathrm{km/h}$. Różnica wynosi $12{,}5\ \mathrm{km/h}$.

Połowę trasy, czyli $125\ \mathrm{km}$, samochód osiąga między drugą a trzecią godziną. Na tym odcinku jedzie $100\ \mathrm{km/h}$, więc dodatkowe $25\ \mathrm{km}$ pokonuje w $15$ minut. Od 8.15 mijają zatem $2$ godziny $15$ minut.