MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 17

Korzystamy z przekształceń

$$2,12=\frac{53}{25},\qquad \sqrt{6\frac14}=\sqrt{\frac{25}{4}}=\frac52,\qquad \frac{\sqrt{27}}{\sqrt3}=\sqrt9=3.$$

Ponadto

$$\sqrt[3]{1\frac{11}{16}}=\sqrt[3]{\frac{27}{16}}$$

jest niewymierne, ponieważ $\frac{27}{16}$ nie jest sześcianem liczby wymiernej. Liczby $\sqrt3$, $\sqrt[3]2$ i $\frac\pi2$ także są niewymierne.

a) $2=\sqrt4<\sqrt5<\sqrt{25}=5$.

b) Z monotoniczności pierwiastka: $\sqrt2<\sqrt3<\sqrt5$.

c) Z monotoniczności pierwiastka sześciennego: $\sqrt[3]2<\sqrt[3]3<\sqrt[3]5$.

d) Mnożąc $2<4<5$ przez dodatnią liczbę $\pi$, otrzymujemy $2\pi<4\pi<5\pi$.

Każda ze wskazanych liczb jest niewymierna.

Upraszczamy kolejno:

$$a=\sqrt{2+\sqrt{2+2}}=\sqrt4=2,$$ $$b=\sqrt{\sqrt[3]{64}}=\sqrt4=2, \qquad c=\sqrt{36}=6,$$ $$d=\sqrt{3\sqrt{3\cdot3}}=\sqrt{3\cdot3}=3,$$ $$e=\sqrt[3]{1000}=10, \qquad f=\sqrt[3]{27+64+125}=\sqrt[3]{216}=6.$$

Wszystkie wyniki są całkowite, a więc wymierne.

Liczby $3\frac17$, $\frac{4^4}{3^4}$ i $\frac{355}{113}$ są zapisane jako ilorazy liczb całkowitych, więc są wymierne.

Liczba $\sqrt{10}$ jest niewymierna. Także

$$\frac{40}{3}-2\sqrt3$$

jest dodatnią liczbą niewymierną. Gdyby jej pierwiastek był wymierny, jego kwadrat również byłby wymierny, co daje sprzeczność. Zatem drugie wyrażenie z pierwiastkiem też jest niewymierne.

a) Z $5<\sqrt{30}<6$ otrzymujemy

$$7<2+\sqrt{30}<8,$$

czyli

$$\frac78<\frac{2+\sqrt{30}}8<1.$$

Po odjęciu nierówności od $2$:

$$-4<2-\sqrt{30}<-3,$$

więc

$$-\frac12<\frac{2-\sqrt{30}}8<-\frac38.$$

b) Ponieważ $2<\sqrt7<3$, mamy

$$0<3-\sqrt7<1.$$

Po podzieleniu przez $4$:

$$0<\frac{3-\sqrt7}{4}<\frac14.$$

c) Z $3<\sqrt{11}<4$ wynika

$$9<6+\sqrt{11}<10.$$

Po podzieleniu przez $10$ otrzymujemy tezę.

a) $81<86,7<100$, zatem

$$9<\sqrt{86,7}<10.$$

b) Po podniesieniu sumy do kwadratu:

$$(\sqrt{11}+\sqrt{37})^2=48+2\sqrt{407}.$$

Ponieważ $20<\sqrt{407}<21$, mamy

$$88<48+2\sqrt{407}<90.$$

W szczególności kwadrat sumy leży między $9^2$ i $10^2$, więc sama suma leży między $9$ i $10$.

c) $2^3<23<3^3$, zatem

$$2<\sqrt[3]{23}<3.$$

d) $(-3)^3<-19<(-2)^3$, zatem

$$-3<\sqrt[3]{-19}<-2.$$

a) Ponieważ $14^2<222<15^2$, to $14<\sqrt{222}<15$. Stąd

$$18<\frac{22+\sqrt{222}}2<18,5<19,$$

więc $n=18$.

b) Ponieważ $18^2<333<19^2$, to $18<\sqrt{333}<19$. Stąd

$$17<\frac{33+\sqrt{333}}3<\frac{52}{3}<18,$$

więc $n=17$.

Długość przekątnej prostopadłościanu o krawędziach $a,b,c$ jest równa $\sqrt{a^2+b^2+c^2}$.

Dla $P_1$:

$$d_1=\sqrt{5^2+6^2+11^2}=\sqrt{182}.$$

Liczba $182$ nie jest kwadratem liczby naturalnej, więc $d_1$ jest niewymierna.

Dla $P_2$:

$$d_2=\sqrt{8^2+9^2+12^2}=\sqrt{289}=17,$$

czyli jest wymierna.

a) Obwód wynosi

$$2\pi r=2\pi\cdot\frac2\pi=4,$$

więc jest liczbą wymierną.

b) Pole wynosi

$$\pi r^2=\pi\cdot2^2=4\pi,$$

więc jest liczbą niewymierną.