MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 177

Funkcja $f(x)=\frac23x+1$ jest rosnąca, więc przekształcamy końce każdego składnika dziedziny.

a) $f(-6)=-3$, $f(3)=3$, stąd $\langle-3;3\rangle$.

b) $\langle-3;0\rangle$ przechodzi na $\langle-1;1\rangle$, a $(3;6)$ na $(3;5)$.

c) $(-6;-3)$ przechodzi na $(-3;-1)$, a $\langle0;6\rangle$ na $\langle1;5\rangle$.

a) Kwadraty liczb są nieujemne, a każda liczba nieujemna $y$ ma pierwiastek $\sqrt y$, więc zbiorem wartości $x^2$ jest $\langle0;\infty)$.

b) Analogicznie $|x|\ge0$ i każda liczba nieujemna jest wartością modułu: $\langle0;\infty)$.

c) Wyrażenie $\frac{28}{x}$ nigdy nie jest zerem; dla dowolnego $y\ne0$ wystarczy wziąć $x=\frac{28}{y}$. Zbiór wartości to $\mathbb R\setminus\{0\}$.

d) Funkcja stała przyjmuje wyłącznie wartość $7$.

Funkcje liniowe są monotoniczne, więc wartości skrajne na przedziałach domkniętych występują na końcach.

a) Funkcja rośnie: $f(0)=-2$, $f(5)=13$.

b) Funkcja maleje: $f(-2)=14$ jest maksimum, a $f(10)=-46$ minimum.

c) Dla $x\le0$ funkcja $x+3$ ma maksimum $3$ dla $x=0$, ale jest nieograniczona z dołu, więc minimum nie istnieje.

d) Dla $x\ge2$ funkcja $-x-2$ ma maksimum $-4$ dla $x=2$, ale minimum nie istnieje.

Każdy z trzech przedziałów definicji jest pokryty, więc $D=\mathbb R$. Pierwsza gałąź ma wartości $(-1;\infty)$, druga $\langle-1;3)$, a trzecia $(-\infty;3\rangle$; ich suma to $\mathbb R$. Funkcja nie ma zatem ani wartości najmniejszej, ani największej.

Gałąź $-x-2$ maleje do punktu $(-1,-1)$, gałąź $x$ rośnie od $x=-1$ do $x=3$, a $-x+6$ maleje od $x=3$. Stąd funkcja maleje na $(-\infty;-1\rangle$ i $\langle3;\infty)$, a rośnie na $\langle-1;3\rangle$.

a) $3/x$ maleje dla $x>0$. Prawy koniec $6$ należy do dziedziny, więc minimum istnieje i wynosi $f(6)=\frac12$.

b) Dla $x\to-4^+$ wartości $-4/x$ dążą do $1$, ale $-4$ nie należy do dziedziny. Wartość $1$ nie jest osiągana, więc minimum nie istnieje.

c) Na składniku $(4;8)$ wartości $2/x$ dążą do $\frac14$ dla $x\to8^-$, lecz $8$ jest wyłączone. Ponieważ są one mniejsze od wartości na $\langle1;2\rangle$, minimum całej funkcji nie istnieje.

d) Na składniku $\langle2;4)$ funkcja $-2/x$ osiąga $-1$ dla $x=2$. Na ujemnym składniku ma wartości dodatnie, więc globalne minimum istnieje i wynosi $-1$.

Wystarczy połączyć odcinkami kolejno punkty $(-3,0),\quad(2,4),\quad(4,-3),\quad(6,0).$ Taka łamana jest określona dla każdego $x\in\langle-3;6\rangle$. Dzięki ciągłości przyjmuje wszystkie wartości od $-3$ do $4$, przy czym jedyny najwyższy wierzchołek ma argument $2$, a jedyny najniższy — argument $4$.

Funkcja $\sqrt x$ jest rosnąca na $\langle0;\infty)$.

a) Na $\langle0;4\rangle$: $n=\sqrt0=0$, $N=\sqrt4=2$.

b) Na $\langle2;7\rangle$: $n=\sqrt2$, $N=\sqrt7$.

c) Na $(3;4\rangle$ wartości dążą do $\sqrt3$, lecz jej nie osiągają, więc minimum nie istnieje; $N=2$.

d) Na $\langle1;\infty)$ minimum wynosi $1$, a maksimum nie istnieje, bo funkcja jest nieograniczona.

Dla parzystego $x$ mamy $(-1)^x=1$, a dla nieparzystego $x$ mamy $(-1)^x=-1$. Obie wartości występują dla nieskończenie wielu liczb naturalnych, a innych wartości funkcja nie przyjmuje.