MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 170

Funkcja rosnąca jest różnowartościowa i zachowuje porządek argumentów.

a) $2x-1=3x+4$, więc $x=-5$. b) $x+2>2x-5$, więc $x<7$. c) $1-x\leq3+x$, więc $x\geq-1$. d) $2x<x^2+1$, czyli $(x-1)^2>0$, zatem $x\ne1$.

Funkcja malejąca odwraca porządek argumentów.

a) $f(x+1)>f(2)$ daje $x+1<2$, czyli $x<1$. b) $f(x-2)<f(3)$ daje $x-2>3$, czyli $x>5$. c) $f(-2x+3)<f(1)$ daje $-2x+3>1$, czyli $x<1$.

W każdym przypadku podajemy parę świadczącą przeciw wzrostowi i parę świadczącą przeciw malejącości.

a) $f(1)=0<f(3)=2$, ale $f(1/2)=3/4>f(1)=0$. b) $f(-2)=2<f(-1)=3$, ale $f(-1)=3>f(0)=2$. c) $f(-2)=7/2>f(-1)=3$, lecz $f(-1)=3<f(1/2)=6$. d) $f(-9)=-3>f(-6)=-9$, lecz $f(-6)=-9<f(-4)=7$. Zatem żadna z funkcji nie jest na podanej dziedzinie ani rosnąca, ani malejąca.

Niech $x_1<x_2$. a) Jeśli $f$ maleje, to $f(x_1)>f(x_2)$. Pomnożenie przez dodatnie $3$ zachowuje nierówność: $3f(x_1)>3f(x_2)$, więc nowa funkcja maleje.

b) Jeśli $f$ rośnie, to $f(x_1)<f(x_2)$. Pomnożenie przez $-1$ odwraca nierówność, czyli $-f(x_1)>-f(x_2)$. Nowa funkcja maleje.

Niech $x_1<x_2$ i niech oba argumenty po zmianie znaku należą do dziedziny (co wynika z założenia, że $f(-x)$ ma tę samą dziedzinę $D$). Wówczas $-x_1>-x_2$. Ponieważ $f$ jest rosnąca, $f(-x_1)>f(-x_2)$. Z definicji oznacza to, że funkcja $x\mapsto f(-x)$ jest malejąca.

Niech $x_1<x_2$ należą do $D$.

a) Jeśli obie funkcje rosną, to $f(x_1)<f(x_2)$ i $g(x_1)<g(x_2)$. Po dodaniu stronami dostajemy $h(x_1)<h(x_2)$.

b) Jeśli obie maleją, obie nierówności mają przeciwny zwrot, a po dodaniu $h(x_1)>h(x_2)$. Zatem suma jest odpowiednio rosnąca lub malejąca.

Mnożenie funkcji rosnącej przez dodatnią stałą zachowuje monotoniczność, a przez ujemną ją odwraca. Suma dodatnich wielokrotności dwóch funkcji rosnących także jest rosnąca. Stąd kolejno: rosnąca, malejąca, rosnąca.

Dla funkcji rosnącej dodatni współczynnik zachowuje kierunek, ujemny go odwraca, a zerowy daje funkcję stałą.

a) Współczynnik $k-3$ jest dodatni dla $k>3$, ujemny dla $k<3$ i zerowy dla $k=3$. b) Współczynnik $2-k$ jest dodatni dla $k<2$, ujemny dla $k>2$ i zerowy dla $k=2$.

a) Na $(0,\infty)$ funkcje $f(x)=-x$ i $g(x)=-2x$ są malejące, natomiast ich iloczyn $h(x)=2x^2$ jest rosnący.

b) Funkcje $f(x)=-1/x$ oraz $g(x)=x^2$ są na $(0,\infty)$ rosnące, ale $h(x)=-x$ jest malejąca.