MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 169

a) Każdy z czterech argumentów ma niezależnie cztery możliwe wartości, więc funkcji jest $4^4=256$. b–c) Funkcja ściśle rosnąca albo malejąca musi użyć wszystkich czterech wartości w jedynym właściwym porządku, więc każdego rodzaju jest po jednej. d) Wartość stałą można wybrać na cztery sposoby.

Funkcja rosnąca zachowuje, a malejąca odwraca porządek argumentów. Dlatego dla funkcji rosnącej $f(2)<f(x)$ jest równoważne $2<x$, a dla malejącej — $2>x$.

a) Proste $x$ i $4-x$ przecinają się dla $x=2$. Maksimum wybiera $4-x$ po lewej i $x$ po prawej, więc funkcja maleje na $(-\infty,2]$ i rośnie na $[2,\infty)$.

b) Równość $2-x=x-4$ daje $x=3$. Minimum wybiera $x-4$ po lewej i $2-x$ po prawej: wzrost do $3$, potem spadek.

c) Dla $|x|\leq1$ wartość wynosi $1$, poza tym $|x|$. Funkcja maleje do $-1$, jest stała na $[-1,1]$ i rośnie od $1$.

Mamy $f(x)=x|x|=\begin{cases}-x^2&x<0,\\x^2&x\geq0.\end{cases}$ Na ujemnej półosi $-x^2$ rośnie do zera, a na nieujemnej $x^2$ rośnie od zera. Jeśli $x_1<0\leq x_2$, to $f(x_1)<0\leq f(x_2)$. We wszystkich możliwych położeniach $x_1<x_2$ zachodzi więc $f(x_1)<f(x_2)$.

a) Dziedzina spełnia $4x+3\geq0$, więc $x\geq-3/4$. Dla $x_1<x_2$ wyrażenie pod pierwiastkiem rośnie, zatem funkcja rośnie.

b) $x\leq5$. Wraz ze wzrostem $x$ liczba $5-x$ maleje, a pierwiastek zachowuje porządek, więc funkcja maleje.

c) $x\leq1/7$. Analogicznie $1-7x$ maleje ze wzrostem $x$, więc funkcja jest malejąca.