MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 16

a) Lewa strona jest podzielna przez $4$, a prawa nie. Nie istnieją rozwiązania całkowite.

b)

$$3x+6y=12 \iff x+2y=4 \iff x=4-2y.$$

Liczba $y$ może być dowolną liczbą całkowitą.

c) Iloczyn dwóch liczb całkowitych jest równy $1$ tylko dla par czynników $(1,1)$ i $(-1,-1)$:

$$\begin{aligned} x-3=1,\ y+5=1&\implies (x,y)=(4,-4),\\ x-3=-1,\ y+5=-1&\implies (x,y)=(2,-6). \end{aligned}$$

W podpunktach a)–d) musi być $n>0$.

a) $n$ musi dzielić $5$, a $\frac5n-1\ge0$. Otrzymujemy $n=1$ lub $n=5$.

b) $n\mid12$ oraz $12-n^2\ge0$. Spośród dodatnich dzielników $12$ spełniają to $n=1,2,3$.

c)

$$\frac{2n+3}{n}=2+\frac3n,$$

więc $n$ jest dodatnim dzielnikiem $3$: $n=1$ lub $n=3$.

d)

$$\frac{5n-8}{n}=5-\frac8n.$$

Dodatnie dzielniki $8$ dają wartość naturalną dla $n=2,4,8$; dla $n=1$ wynik jest ujemny.

e)

$$\frac{n+5}{n+1}=1+\frac4{n+1}.$$

Liczba $n+1$ jest dodatnim dzielnikiem $4$, stąd $n=0,1,3$.

Reszta po wydzieleniu części całkowitej musi mieć mianownik będący niezerowym dzielnikiem licznika.

a)

$$\frac{k+8}{k+5}=1+\frac3{k+5}.$$

Z $k+5\mid3$ otrzymujemy $k=-8,-6,-4,-2$.

b)

$$\frac{k+9}{k+5}=1+\frac4{k+5}.$$

Z $k+5\mid4$ otrzymujemy $k=-9,-7,-6,-4,-3,-1$.

c)

$$\frac{2k+10}{k+2}=2+\frac6{k+2}.$$

Z $k+2\mid6$ otrzymujemy $k=-8,-5,-4,-3,-1,0,1,4$.

d)

$$\frac{2k+6}{k-1}=2+\frac8{k-1}.$$

Z $k-1\mid8$ otrzymujemy $k=-7,-3,-1,0,2,3,5,9$.

Wszystkie cyfry są dodatnie. Aby maksymalizować odwrotność, minimalizujemy mianownik. Najpierw wybieramy najmniejszą możliwą cyfrę $a=1$.

Przy ustalonym $a=1$ trzeba zminimalizować $\frac1{b+\frac1c}$, czyli zmaksymalizować $b+\frac1c$. Największa dostępna cyfra to $b=9$, a spośród cyfr różnych od $1$ i $9$ największą wartość $\frac1c$ daje $c=2$.

Wtedy

$$\frac{1}{1+\frac{1}{9+\frac12}} =\frac{1}{1+\frac{2}{19}} =\frac{19}{21}.$$

Dla $a\ge2$ całe wyrażenie jest mniejsze niż $\frac12$, więc nie może dać większej wartości.

Zapisujemy oba ułamki jako różnice od $1$:

$$\frac{777\,772}{777\,773}=1-\frac1{777\,773}, \qquad \frac{999\,993}{999\,995}=1-\frac2{999\,995}.$$

Ponieważ

$$999\,995<2\cdot777\,773,$$

to

$$\frac1{777\,773}<\frac2{999\,995}.$$

Odjęcie mniejszej liczby od $1$ daje większy wynik, więc teza zachodzi.

Dla każdego $n\ge10$ mamy $n^2<n(n+1)$, zatem

$$\frac1{n^2}>\frac1{n(n+1)} =\frac1n-\frac1{n+1}.$$

Sumując te nierówności dla $n=10,11,\ldots,999$, otrzymujemy sumę teleskopową:

$$\sum_{n=10}^{999}\frac1{n^2} > \sum_{n=10}^{999}\left(\frac1n-\frac1{n+1}\right) =\frac1{10}-\frac1{1000} =\frac{99}{1000}.$$

Teza została wykazana.

Korzystamy z algorytmu Euklidesa:

$$\gcd(k+5,3k+4) =\gcd\bigl(k+5,\,3(k+5)-(3k+4)\bigr) =\gcd(k+5,11).$$

Ponieważ $11$ jest pierwsza, ułamek jest skracalny wtedy i tylko wtedy, gdy $11\mid(k+5)$. Zatem

$$k+5=11l,\qquad k=11l-5,$$

gdzie $l\in\mathbb Z$. Żadna z tych wartości nie jest równa $5$.

Każda liczba całkowita jest parzysta albo nieparzysta. Wśród trzech liczb $a,b,c$ co najmniej dwie mają tę samą parzystość.

Suma dwóch liczb parzystych jest parzysta, podobnie jak suma dwóch liczb nieparzystych. Zatem suma wybranej pary spośród $a+b$, $b+c$, $a+c$ jest parzysta. Po podzieleniu tej sumy przez $2$ otrzymujemy liczbę całkowitą.

Wobec tego co najmniej jedna z trzech podanych liczb jest całkowita, co kończy dowód.

Niech liczby będą równe $n,n+1,n+2,n+3$. Ponieważ $0,075=\frac3{40}$,

$$\frac1n-\frac1{n+3} =\frac3{n(n+3)} =\frac3{40}.$$

Stąd $n(n+3)=40$, czyli

$$n^2+3n-40=0 \iff(n-5)(n+8)=0.$$

Dodatnim rozwiązaniem jest $n=5$. Dwie pozostałe liczby to $6$ i $7$, więc

$$\frac16-\frac17=\frac1{42}.$$