MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 168

Niech $x_1<x_2$. Dla funkcji liniowej $f(x)=ax+b$ mamy $f(x_2)-f(x_1)=a(x_2-x_1)$. W każdym podpunkcie $x_2-x_1>0$, a współczynnik $a$ jest ujemny: odpowiednio $-2,-1,-1/4$. Zatem różnica jest ujemna i $f(x_2)<f(x_1)$, więc każda funkcja jest malejąca.

Niech $x_1<x_2$. Jak wyżej, $f(x_2)-f(x_1)=a(x_2-x_1)$. Współczynniki kierunkowe wynoszą kolejno $2$, $2/5$ oraz $\sqrt3$ i są dodatnie. Różnica jest więc dodatnia, czyli $f(x_1)<f(x_2)$; wszystkie funkcje są rosnące.

a) Na $(-\infty,0)$ funkcja $x^2$ maleje, a od zera jest stała; całość jest nierosnąca. b) Najpierw jest stała, a potem $x^2$ rośnie, więc jest niemalejąca. c) Część $-x$ dla $x<0$ i część $-x^2$ dla $x\geq0$ są malejące, łączą się w zerze i zachowują porządek między częściami, więc funkcja jest malejąca. d) $-x^2$ rośnie do zera po lewej, a $\sqrt x$ rośnie od zera po prawej; całość jest rosnąca.

Na nieujemnej półosi $x^2$ rośnie, a $-4x^2+8$ maleje. Na niedodatniej półosi $x^2$ maleje, zatem $-x^2$ rośnie, a przesunięcie o $-9$ nie zmienia monotoniczności $x^2$. Otrzymujemy odpowiednio: rosnąca, rosnąca, malejąca, malejąca.

Dla $x_1<x_2$ w jednym podanym przedziale mianowniki nie zmieniają znaku. Funkcja $1/x$ jest tam malejąca. Przesunięcie argumentu nie zmienia tego kierunku, pomnożenie przez liczbę ujemną go odwraca, a dodanie stałej nie ma wpływu. Stąd: a) malejąca; b) rosnąca; c) rosnąca; d) malejąca.

a) Na $(-\infty,1)$ funkcja jest równa $x^3$, więc rośnie. Na $[1,\infty)$ ma $f(1)=-4$, a dla każdego $x>1$ jest $f(x)=x^3>1>-4$; dalej sześcian również rośnie.

b) Nie jest rosnąca na $\mathbb R$, bo $0<1$, lecz $f(0)=0>f(1)=-4$. Nie jest też malejąca, na przykład $1<2$, lecz $f(1)=-4<f(2)=8$. Zatem nie jest monotoniczna.

a) Jeśli $x_1<x_2$ leżą po tej samej stronie $-2$, to iloczyn $(x_1+2)(x_2+2)>0$ i

Funkcja rosnąca musi spełniać $f(1)<f(2)<f(3)$. Wybieramy więc trzy różne wartości spośród pięciu i ustawiamy je w jedynej rosnącej kolejności. Otrzymujemy dziesięć trójek: $(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),$ $(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5)$.