MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 162

Jeśli jeden bok ma długość $x$, to z $2x+2y=8$ wynika $y=4-x$, przy czym $0<x<4$.

a) Drugi bok opisuje $4-x$, więc odpowiada mu wykres B.

b) Pole wynosi $x(4-x)=4x-x^2$, więc odpowiada mu wykres A.

c) Z twierdzenia Pitagorasa przekątna ma długość $\sqrt{x^2+(4-x)^2}=\sqrt{2x^2-8x+16},$ co przedstawia wykres C.

a) Dla $x<0$ rysujemy lewą połowę paraboli $y=x^2$ bez punktu $(0,0)$, a dla $x\geq0$ prawą połowę paraboli $y=-x^2$ wraz z punktem $(0,0)$.

b) Dla $x<-1$ rysujemy część hiperboli $y=-1/x$ i zostawiamy otwarty punkt $( -1,1)$. Dla $x\geq-1$ wykresem jest pozioma półprosta $y=1$, zaczynająca się w domkniętym punkcie $(-1,1)$.

Korzystamy z odwrotności argumentów.

a) Odwrotności elementów zbioru dziedziny dają $\{-2,-1,-\frac12,-\frac14,\frac14,\frac12,1,2\}$.

b) Dla $x\in(-4,0)$ mamy $1/x<-1/4$, a dla $x\in(0,4)$ mamy $1/x>1/4$; wartości krańcowe nie są przyjmowane.

c) Funkcja $1/x$ na $\mathbb R\setminus\{0\}$ przyjmuje każdą niezerową wartość rzeczywistą.

Sześciokrotność odwrotności liczby $x>0$ to $f(x)=\frac6x,\qquad D=(0,\infty).$ Wykres jest gałęzią hiperboli w pierwszej ćwiartce. Obie współrzędne są naturalne dokładnie dla dodatnich dzielników liczby $6$, więc otrzymujemy $(1,6),(2,3),(3,2),(6,1)$.

Podstawiamy współrzędne punktów do odpowiedniego wzoru.

a) Dla $f(x)=2x-1$: $a=f(2)=3$; z $2b-1=0$ mamy $b=1/2$; z $2c-1=2$ mamy $c=3/2$; $d=f(\sqrt2)=2\sqrt2-1$.

b) Dla $f(x)=\sqrt x$: $a=\sqrt2$; $\sqrt b=0$, więc $b=0$; $\sqrt c=2$, więc $c=4$; $d=\sqrt{\sqrt2}=\sqrt[4]2$.

Współrzędna $y=2-\sqrt2$. Z $a/(\sqrt2+2)=2-\sqrt2$ dostajemy $a=(2-\sqrt2)(2+\sqrt2)=2$. Z $2/(\sqrt2-b)=2-\sqrt2$ wynika po pomnożeniu $2=(2-\sqrt2)(\sqrt2-b)$, skąd $b=-2$.

Podstawiamy $x=-1$ i pilnujemy, do której części należy ten argument.

a) Ponieważ $-1<0$, mamy $f(-1)=-2-a$. Warunek $f(-1)=0$ daje $a=-2$.

b) Gdy $-1<a$, używamy pierwszego wzoru: $-a+2=0$, więc $a=2$ i warunek przedziału jest spełniony. Gdy $-1\geq a$, drugi wzór daje $-2-a=0$, więc $a=-2$, również zgodnie z warunkiem. Są zatem dwie wartości.