MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 160

Wybieramy trzy proste argumenty i obliczamy wartości.

a) Dla $x=-1,0,1$ otrzymujemy $-4,2,8$.

b) Dla $x=-1,0,1$ otrzymujemy $0,-1,0$.

c) Dla $x=-1,0,1$ otrzymujemy $2,3,2$.

Obliczamy wartości wzoru dla pierwszych współrzędnych:

$f(9)=-2,\quad f(-3)=2,\quad f(6)=-1,\quad f(-1)=\frac43.$

Porównanie z drugimi współrzędnymi pokazuje, że należą punkty z podpunktów a i c.

Wzór można zapisać jako

$f(x)=-(x-2)^2.$

Dla $x=2+\sqrt3$ mamy

$f(2+\sqrt3)=-(\sqrt3)^2=-3,$

czyli dokładnie drugą współrzędną punktu $P$.

Podstawiamy pierwsze współrzędne i sprawdzamy dziedzinę.

a) Tylko $f(0)=1$, więc punkt $B$.

b) $f(-1)=-1$, więc punkt $A$.

c) $f(-1)=-1$, natomiast $x=0$ jest wykluczony; punkt $A$.

d) Dziedzina wymaga $x\ge1$, ale $f(2)=1\ne\frac12$; żaden.

e) $f(2)=\frac1{\sqrt4}=\frac12$; punkt $C$.

f) $f(2)=\frac1{|2-4|}=\frac12$; punkt $C$.

Podstawiamy $x=-1$.

a) $(-1)^2+1=2\ne1$.

b) $-(-1)^2+2=1$.

c) $((-1)^3+2(-1)^2)^{2019}=1^{2019}=1$.

d) $((-1)^7-3(-1)-3)^{100}=(-1)^{100}=1$.

Ze skanu odczytujemy

$f(1)=4,\quad f(-1)=4,\quad f(-3)=0,\quad f(3)=-2.$

Zatem

$$\frac{4-4}{2}+\frac{3}{0-(-2)} =0+\frac32=\frac32.$$

Argument $\sqrt2-3$ jest mniejszy od $-1$, $\sqrt2-1$ leży między $-1$ i $1$, a $\sqrt2+1$ jest większy od $1$. Stąd

$f(\sqrt2-3)=\sqrt2+1,$

$f(\sqrt2-1)=5-2\sqrt2,$

$f(\sqrt2+1)=3-\sqrt2.$

Suma wynosi $9-2\sqrt2$.

Dla $x<0$ mamy $|x|=-x$, więc

$f(x)=-x-x+1=-2x+1=g(x).$

Dla $x\ge0$ mamy $|x|=x$, więc

$f(x)=x-x+1=1=g(x).$

W obu częściach dziedziny funkcje mają te same wartości, zatem są równe. Wykres tworzy półprosta $y=-2x+1$ dla $x<0$ oraz półprosta pozioma $y=1$ dla $x\ge0$.