MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 159

Sprawdzamy punkty graniczne. Dla $x=-2$ obowiązuje pierwsza gałąź i $f(-2)=1$, natomiast druga gałąź ma przy $(-2,4)$ punkt otwarty. Dla $x=1$ druga gałąź jest wyłączona, a trzecia daje domknięty punkt $(1,-3)$. Te warunki oraz nachylenia trzech prostych spełnia tylko rysunek III.

Dziedzina funkcji określonej kawałkami jest sumą przedziałów podanych przy jej gałęziach.

a) $D=\langle0;2)\cup\langle3;\infty)$.

b) Łączymy $\langle-3;0)$ i $\langle0;2)$ w $\langle-3;2)$, a trzeci przedział to $(2;5)$.

a) Dla $x\le1$ rysujemy prostą $y=-x+2$ z domkniętym punktem $(1,1)$. Dla $x>1$ rysujemy $y=x$ z pustym punktem $(1,1)$; obie części łączą się w kształt litery V.

b) Rysujemy trzy części: $y=-x-3$ dla $x\le-1$, poziomy odcinek $y=-2$ dla $-1<x<2$ oraz $y=\frac12x-3$ dla $x\ge2$, z właściwymi otwartymi i domkniętymi końcami.

Rysujemy kolejno:

• poziomą półprostą $y=2$ dla $x\le-2$;
• odcinek prostej $y=-2x-2$ dla $-2<x\le0$;
• odcinek $y=x-2$ dla $0<x\le3$;
• poziomą półprostą $y=1$ dla $x>3$.

W punktach granicznych zaznaczamy końce otwarte lub domknięte zgodnie z przedziałami.

Ze skanu odczytujemy poziomy i końce przedziałów. Wartość $0$ występuje od $x=-6$ włącznie do $x=1$ bez jedynki. Dla $x=1$ jest osobny punkt o wartości $-2$. Wartość $2$ występuje dla $1<x\le6$.

Korzystamy z definicji $|u|=u$ dla $u\ge0$ i $|u|=-u$ dla $u<0$.

a) $|4x|=-4x$ dla $x<0$ i $4x$ dla $x\ge0$.

b) $\left|\frac13x\right|=-\frac13x$ dla $x<0$ i $\frac13x$ dla $x\ge0$.

c) $-|2x|=2x$ dla $x<0$ i $-2x$ dla $x\ge0$.