MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 15

Połowa pracy wymagała

$$40\cdot5\cdot8=1600$$

roboczogodzin. Tę samą pracę ma wykonać 40 robotników w ciągu 4 dni. Jeśli będą pracować po $h$ godzin dziennie, to

$$40\cdot4\cdot h=1600, \qquad h=10.$$

Suma części stosunku jest równa

$$1+3+5+9=18.$$

Jedna część ma długość

$$\frac{63}{18}=3,5\ \text{cm}.$$

Dwa najkrótsze kawałki odpowiadają $1+3=4$ częściom, więc ich łączna długość wynosi

$$4\cdot3,5=14\ \text{cm}.$$

Niech

$$x=\frac ab,\qquad y=\frac cd,$$

gdzie $a,b,c,d\in\mathbb Z$ oraz $b\ne0$, $d\ne0$.

a)

$$x+y=\frac{ad+bc}{bd}\in\mathbb Q.$$

b)

$$x-y=\frac{ad-bc}{bd}\in\mathbb Q.$$

c)

$$xy=\frac{ac}{bd}\in\mathbb Q.$$

d) Jeżeli dodatkowo $y\ne0$, to $c\ne0$ i

$$\frac{x}{y}=\frac ab:\frac cd=\frac{ad}{bc}\in\mathbb Q.$$

W każdym przypadku licznik i mianownik wyniku są całkowite, a mianownik jest niezerowy, co dowodzi tez.

Suma pierwszych $m$ wyrazów ciągu $\frac12,\frac14,\ldots$ jest równa $1-\frac1{2^m}$.

a)

$$\frac12+\frac14+\frac18+\frac1{16} =\frac{15}{16}, \qquad 1-\frac{15}{16}=\frac1{16}.$$

b) W sumie jest dziewięć składników, więc

$$\frac12+\frac14+\ldots+\frac1{512} =1-\frac1{512}.$$

Różnica względem $1$ wynosi $\frac1{512}$.

a) Z $0<a<b$ wynika $\frac ab<1$ oraz $\frac ba>1$, czyli

$$\frac ab<1<\frac ba.$$

b) Ponieważ $a>b$,

$$\frac{a+b}{2}-b=\frac{a-b}{2}>0,$$

więc $b<\frac{a+b}{2}$.

c) Z warunków mamy

$$c=2(a+b),\qquad c=3(b-a).$$

Stąd $2a+2b=3b-3a$, czyli $b=5a$, a następnie $c=12a$. Ponieważ $a>0$,

$$a<b<c.$$

d)

$$(a+2)(b-2)>ab \iff ab-2a+2b-4>ab \iff b-a>2.$$

Zatem $a<b$.

Mianownik musi być niezerowym dzielnikiem licznika.

a) $k\mid2$, więc $k\in\{-2,-1,1,2\}$.

b) Liczba $2k$ jest parzysta i nie może być niezerowym dzielnikiem $5$. Nie ma rozwiązań.

c) $k-6\in\{-9,-3,-1,1,3,9\}$, więc

$$k\in\{-3,3,5,7,9,15\}.$$

d) $k+2\in\{-15,-5,-3,-1,1,3,5,15\}$, więc

$$k\in\{-17,-7,-5,-3,-1,1,3,13\}.$$

e) Spośród dzielników $\pm1,\pm2,\pm5,\pm10$ liczby $10$ tylko $-10$ ma postać $7k-3$ dla całkowitego $k$. Stąd $k=-1$.

a) Jedynymi całkowitymi rozkładami liczby $1$ są $1\cdot1$ i $(-1)\cdot(-1)$:

$$(k,l)=(1,1),\ (-1,-1).$$

b) Pary dzielników liczby $3$ dla $(k+2,l-1)$ to $(1,3)$, $(3,1)$, $(-1,-3)$ i $(-3,-1)$. Stąd

$$(k,l)=(-1,4),(1,2),(-3,-2),(-5,0).$$

c) Liczba $l+2$ musi być dzielnikiem $4$. Dla $l+2\in\{\pm1,\pm2,\pm4\}$ otrzymujemy

$$(k,l)=(-3,-3),(-1,-4),(0,-6),(2,2),(3,0),(5,-1).$$

d)

$$kl-k-l=0 \iff (k-1)(l-1)=1.$$

Zatem $(k,l)=(2,2)$ albo $(0,0)$.

e) $k=-l$, gdzie $l$ jest dowolną liczbą całkowitą.

f) Skan strony potwierdza mnożenie. Iloczyn jest zerem wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jeden czynnik jest zerem:

$$k=0,\ l\in\mathbb Z \quad\text{lub}\quad l=0,\ k\in\mathbb Z.$$

Mianowniki są dodatnie. Porównujemy iloczyny krzyżowe:

$$4(5+n)=20+4n, \qquad 5(4+n)=20+5n.$$

Dla $n>0$ mamy $20+4n<20+5n$, więc

$$\frac45<\frac{4+n}{5+n}.$$