MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 157

Sprawdzamy obrazy zaproponowanych wzorów na podanych dziedzinach.

a) $f(x)=\frac1x$ daje wartości $1,2,\ldots,7$.

b) $f(x)=x^2$ daje dokładnie $0,\frac13,\frac12,1,2,3$.

c) $f(x)=x^2+1$ daje $1,2,5,10,17$.

d) $f(x)=|x|$ daje $0,1,2,3,4$.

a) Stałe przyporządkowanie: $f(x)=3$, $D=\mathbb R$.

b) $f(x)=x^2-2$, $D=\mathbb N$.

c) $f(x)=2x$, $D=\mathbb Z$.

d) $f(x)=\frac12x^3+5$, $D=\mathbb R$.

e) Jeśli obwód $x=2\pi r$, to $r=\frac{x}{2\pi}$ i $P=\frac{x^2}{4\pi}$; $D=(0;\infty)$.

f) Jeśli pole $x=6a^2$, to $a=\sqrt{x/6}$ i $V=\frac{x}{6}\sqrt{x/6}$; $D=(0;\infty)$.

Podstawiamy odpowiednie wyrażenie do $f(u)=3u-1$:

$f(-x)=-3x-1,\quad f(x+1)=3x+2,$

$f(x)+2=3x+1,\quad 2f(x)=6x-2,$

$f(2x)=6x-1,\quad -2f(3x)=-2(9x-1)=-18x+2.$

a) $f(11)=1$, a $f(23)=3$.

b) Większa cyfra liczby dwucyfrowej może być każdą z cyfr od $1$ do $9$.

c) Dla $10,11,12,13,14,15$ wartości wynoszą odpowiednio $1,1,2,3,4,5$.

d) Najmniejsza możliwa suma wynosi $2$ i zachodzi dla $f(10)+f(11)=1+1$. Dla większych argumentów co najmniej jeden składnik rośnie, więc jedynym argumentem jest $10$.

Dla każdego $x<0$ mamy $|x|=-x$, zatem

$f(x)=\frac{x}{-x}=-1.$

Wykres jest poziomym promieniem $y=-1$ dla $x<0$, bez punktu przy $x=0$.

Zaokrąglenie do jedności jest stałe między kolejnymi połówkami liczb całkowitych. Dla $0<x<5$ otrzymujemy poziome stopnie o wartościach $0,1,2,3,4,5$, z granicami w $0{,}5,1{,}5,2{,}5,3{,}5,4{,}5$.

Parabola $y=-x^2+4$ ma wierzchołek $(0,4)$ i ramiona skierowane w dół.

a) Dla $x\in\langle-2;2\rangle$ minimum wynosi $0$, maksimum $4$.

b) Dla $x\in(-3;0)$ wartości zbliżają się do $-5$ i $4$, lecz ich nie osiągają.

c) Dla $x\in\langle-1;3)$ maksimum $4$ jest osiągane, a $-5$ nie.

d) Dla $x\le2$ maksimum wynosi $4$, a z dołu wartości są nieograniczone.