MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 156

W każdym podpunkcie bierzemy część prostej $y=-x+1$ nad wskazaną dziedziną. Usunięte argumenty oznaczamy pustymi punktami.

a) Odcinek dla $-2\le x\le4$ z otworami przy $x=-1,2$.

b) Dwa odcinki dla $-3<x\le0$ i $1\le x<3$.

c) Cała prosta bez punktów dla $x=-2,2$.

d) Otwarty odcinek dla $-1<x<1$ oraz osobne punkty dla $x=-3,2$.

Stosujemy test prostej pionowej.

a) Odcinek $AB$ jest poziomy dla $-2\le x\le5$, a odcinek $BC$ także ma argumenty od $3$ do $5$. Dla $3<x<5$ łamana ma dwie różne wartości, więc nie jest wykresem funkcji.

b) Na łamanej $ABC$ argument rośnie od $-4$ przez $1$ do $2$. Każda prosta pionowa przecina ją najwyżej raz, więc jest wykresem funkcji.

Przez pierwsze $10$ minut droga jest równa $0$. Prędkość $30$ km/h to $0{,}5$ km/min, więc po kolejnych $10$ minutach droga wynosi $5$ km. Prędkość $80$ km/h to $\frac43$ km/min; przez $30$ minut pojazd pokona jeszcze $40$ km. Wykres jest łamaną przez

$(0,0),(10,0),(20,5),(50,45).$

Podstawiamy argumenty do $g(x)=2-3x$:

$g(-2)=8,\quad g\left(\frac13\right)=1,\quad g(5)=-13,\quad g(-1)=5.$

Z podanych równości prawdziwe są więc tylko b i d.

Podstawiamy kolejno do $f(x)=-2x+3$:

$f(2)=-1,\quad f(-1)=5,\quad f\left(\frac12\right)=2,$

$f(-t)=2t+3,\quad f(2z)=-4z+3,$

$f(2x-1)=-2(2x-1)+3=-4x+5.$

Rozwiązujemy równanie $2x-6=y$ dla podanej wartości $y$.

a) $2x-6=10$, więc $x=8$.

b) $2x-6=0$, więc $x=3$.

c) $2x-6=-0{,}5$, więc $x=2{,}75$.

d) $2x-6=-18$, więc $x=-6$.

Porównujemy $5x-2$ z podaną wartością.

a) $5x-2=3$, więc $x=1$.

b) Równość $5x-2=x$ daje $x=\frac12$.

c) $5x-2=5t$, więc $x=t+\frac25$.

d) $5x-2=y+3$, więc $x=\frac15y+1$.

Cała trasa ma $20$ km, więc od każdej przebytej drogi odejmujemy wartość od $20$. Punkty źródłowej łamanej przechodzą zatem w

$(0,20),(30,14),(50,14),(80,2),(120,0).$

Łączymy je w tej samej kolejności.

Obliczamy współczynniki:

$p=f(3{,}25)=\sqrt{2{,}25}=1{,}5,\qquad q=f(10)=3.$

Zatem $g(x)=1{,}5x+3$. Dla argumentów $-2,-1,0,1,2$ otrzymujemy wartości odpowiednio $0,1{,}5,3,4{,}5,6$.