MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 152

Miejscami zerowymi są argumenty, których cyfra jedności wynosi $0$. W przedziale od $10$ do $40$ są to liczby

$10,20,30,40.$

Iloczyn cyfr jest zerem wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jedna cyfra jest zerem. Liczb trzycyfrowych jest $900$. Bez cyfry zero jest $9\cdot9\cdot9=729$ liczb. Zatem liczba miejsc zerowych wynosi

$900-729=171.$

Początkowo jest $250$ dag karmy. Przez pierwszych pięć dni ubywa po $15$ dag, a później po $25$ dag dziennie:

Stąd $f(3)=205$, $f(7)=125$, $f(10)=50$. Równanie $300-25x=100$ daje $x=8$, a $300-25x=0$ daje $x=12$.

Po kolejnych ruchach Kuba ma:

$62,\ 60,\ 56,\ 48,\ 32,\ 0,\ldots$

Straty od trzeciego ruchu wynoszą kolejno $4,8,16,32$. Po szóstym ruchu liczba punktów po raz pierwszy jest równa zeru.

Liczba parzystych dzielników argumentów od $1$ do $20$ może wynosić $0,1,2,3$ albo $4$; przykłady to odpowiednio $1,2,4,8,12$.

Wartość zero występuje dokładnie dla liczb nieparzystych. Wśród liczb od $1$ do $20$ jest ich dziesięć.

Przykładem jest funkcja przyporządkowująca resztę z dzielenia przez $4$:

$f(n)=n\bmod4.$

Jej wartościami są dokładnie $0,1,2,3$. Stąd $f(5)=1$, $f(103)=3$, $f(2018)=2$, a miejsca zerowe to wielokrotności liczby $4$.

Mamy $f(x)=x+8$ oraz $g(x)=3x$, więc

$h(x)=4x+8.$

Równanie $h(x)=0$ daje $x=-2$. Liczba $-2$ należy do dziedziny $X$, więc funkcja ma to miejsce zerowe.

Pierwsza cyfra po przecinku jest zerem dla nieskończenie wielu argumentów, na przykład dla każdej liczby naturalnej oraz dla liczb $0{,}01,0{,}02,\ldots$. Wszystkie te liczby mają skończone rozwinięcie dziesiętne.