MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 151

Najmniejszym dzielnikiem naturalnym większym od $1$ jest najmniejszy dzielnik pierwszy.

a) Dla $8$ jest to $2$, dla $15$ — $3$, a liczba $19$ jest pierwsza.

b) W dziedzinie występują najmniejsze dzielniki $2,3,5,7,11,13,17,19$.

c) Wartość $3$ mają liczby $3,9,15$, zatem są trzy rozwiązania.

Dokładnie dwa dodatnie dzielniki mają liczby pierwsze. W przedziale $\langle2;18\rangle$ są to

$2,3,5,7,11,13,17.$

Jest ich siedem.

Dla każdego z trzech argumentów można niezależnie wybrać jedną z dwóch wartości. Z zasady mnożenia liczba funkcji wynosi

$2\cdot2\cdot2=2^3=8.$

Funkcję wyznacza uporządkowana para $(f(1),f(2))$. Każda współrzędna ma trzy możliwości, więc istnieje $3^2=9$ funkcji. Wszystkie pary to

$(3,3),(3,4),(3,5),(4,3),(4,4),(4,5),(5,3),(5,4),(5,5).$

Stosujemy funkcję $f$ dwukrotnie:

$g(2)=f(5)=2,\quad g(3)=f(7)=6,\quad g(4)=f(3)=7,$

$g(5)=f(2)=5,\quad g(6)=f(4)=3,\quad g(7)=f(6)=4,$

$g(8)=f(8)=8.$

a) Cyfrą jedności może być każda cyfra od $0$ do $9$.

b) W dziedzinie liczbami zakończonymi cyfrą $7$ są $7,17,\ldots,97$.

c) Ponieważ $f(x)$ jest cyfrą, $f(f(x))=f(x)$. Wartość zero otrzymujemy dla liczb zakończonych zerem, między innymi dla $0,10,\ldots,100$.

a) $f(3021)=3+0+2+1=6$.

b) Suma cyfr jest o jeden mniejsza od maksymalnej sumy $36$, więc argumentami są permutacje cyfr $8,9,9,9$: $8999,9899,9989,9998$.

c) Liczba $f(x)+999$ ma sumę cyfr równą $1$ tylko wtedy, gdy jest $1000$. Zatem $f(x)=1$, co dla liczby czterocyfrowej zachodzi tylko dla $x=1000$.

d) Sumę $2$ dają $1001,1010,1100,2000$ — cztery argumenty. Sumę $3$ dają $1002,1020,1200,2001,2010,2100,3000$ — siedem argumentów.

e) Możliwe są wszystkie sumy cyfr od $1$ do $36$.