MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 14

Ze skanu strony odczytujemy 15 równych odcinków między $\frac12$ i $1$. Długość jednego odcinka jest równa

$$\frac{1-\frac12}{15}=\frac1{30}.$$

Punkty leżą odpowiednio o 1, 9 i 10 odcinków na prawo od $\frac12$, więc

$$a=\frac12+\frac1{30}=\frac8{15},\qquad b=\frac12+\frac9{30}=\frac45,\qquad c=\frac12+\frac{10}{30}=\frac56.$$

Z proporcji $\frac{a}{c}=\frac{b}{x}$ otrzymujemy

$$x=\frac{bc}{a} =\frac{\frac45\cdot\frac56}{\frac8{15}} =\frac54.$$

a)

$$\left(\frac32+\frac{11}{5}\right)\cdot10 =\frac{37}{10}\cdot10=37.$$

b)

$$\left(\frac65+\frac56\right)\cdot\frac{15}{8} =\frac{61}{30}\cdot\frac{15}{8} =\frac{61}{16}.$$

c)

$$\left(\frac{56}{20}-\frac{21}{20}\right)\cdot\frac47 =\frac74\cdot\frac47=1.$$

d) Skan strony potwierdza znak dzielenia:

$$\left(\frac{29}{4}-\frac{13}{6}\right):\frac{61}{24} =\frac{61}{12}\cdot\frac{24}{61}=2.$$

e)

$$\left(\frac{34}{15}-\frac{11}{10}\right) \left(\frac2{15}+\frac2{21}\right) =\frac76\cdot\frac8{35} =\frac4{15}.$$

f)

$$\left(\frac{17}{16}-\frac{23}{24}\right) \left(8+\frac85\right) =\frac5{48}\cdot\frac{48}{5}=1.$$

a)

$$\frac{\left(\frac{17}{5}-\frac94\right)\frac{24}{7}} {\left(\frac{13}{5}-1\right):\frac73} =\frac{\frac{138}{35}}{\frac{24}{35}} =\frac{23}{4}.$$

b)

$$\frac{\frac34:\frac32+4}{\left(\frac{13}{2}-\frac{28}{5}\right):\frac95}-2 =\frac{\frac92}{\frac12}-2=7.$$

c)

$$\frac92:\frac{15}{4}=\frac65,\qquad \frac{28}{5}:\frac73+\frac52=\frac{49}{10},$$

zatem

$$\frac95\cdot\frac{\frac{33}{10}-\frac65}{\frac{49}{10}} =\frac95\cdot\frac37=\frac{27}{35}.$$

d)

$$\left(\frac34\cdot\frac43\right):\frac54=\frac45, \qquad \frac{18}{25}-\frac15:\frac53=\frac35,$$

więc

$$\frac34+\frac{\frac45}{\frac35} =\frac34+\frac43=\frac{25}{12}.$$

e)

$$\frac{\frac{25}{12}+\frac98} {\left(\frac73+\frac75\right)\frac32-7}:\frac{15}{4} =\frac{\frac{77}{24}}{-\frac75}\cdot\frac4{15} =-\frac{11}{18}.$$

f)

$$\frac4{21}:\frac2{35}-\frac{28}{9}\cdot\frac37 =\frac{10}{3}-\frac43=2,$$ $$\frac{40}{9}\cdot\frac25=\frac{16}{9}, \qquad \frac{17}{8}-2:\frac{16}{9} =\frac{17}{8}-\frac98=1.$$

Najpierw obliczamy podaną liczbę, a następnie zamieniamy miejscami licznik i mianownik.

a) $\frac{12}{35}\cdot\frac7{18}=\frac2{15}$, więc odwrotność to $\frac{15}{2}$.

b) Skan potwierdza mnożenie:

$$-\frac{11}{4}\cdot\frac43=-\frac{11}{3},$$

więc odwrotność to $-\frac3{11}$.

c) $\frac7{15}:\frac{14}{5}=\frac16$, więc odwrotność to $6$.

d) $\left(-\frac5{14}:3\right):\frac{10}{21}=-\frac14$, więc odwrotność to $-4$.

e) $\frac16-\frac12=-\frac13$, więc odwrotność to $-3$.

f) $\frac5{12}+\frac5{18}=\frac{25}{36}$, więc odwrotność to $\frac{36}{25}$.

W każdym podpunkcie można wziąć średnią arytmetyczną końców przedziału lub inną łatwą liczbę wymierną:

a) $\frac47<\frac9{14}<\frac57$.

b) $-\frac13<-\frac7{24}<-\frac14$.

c) $-\frac7{11}<-\frac{13}{22}<-\frac6{11}$.

d) $\frac23<\frac{17}{24}<\frac34$.

e) $2,01<2,015<2,02$.

f) $-3,1<-3<-2,99$.

Szukamy liczb postaci $\frac{n}{13}$. Warunek

$$\frac59<\frac{n}{13}<\frac79$$

po pomnożeniu przez $117$ daje

$$65<9n<91.$$

Stąd $\frac{65}{9}<n<\frac{91}{9}$, więc $n\in\{8,9,10\}$.

Licznik:

$$-\frac23\left(5-6\cdot\frac73\right) =-\frac23(5-14)=6.$$

Mianownik:

$$\frac{17}{5}-\frac{11}{5}:\frac25 =\frac{17}{5}-\frac{11}{2} =-\frac{21}{10}.$$

Zatem

$$a=6:\left(-\frac{21}{10}\right)=-\frac{20}{7}.$$

a) Stosunek pierwszej liczby do drugiej wynosi $13:17$. Oznaczamy je przez $13t$ i $17t$:

$$13t+17t=1530,\qquad t=51.$$

Liczby to $663$ i $867$.

b) Z warunków otrzymujemy wspólny stosunek

$$\text{pierwsza}:\text{druga}:\text{trzecia}=15:16:36.$$

Zatem

$$15t+16t+36t=134,\qquad 67t=134,\qquad t=2.$$