MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 144

Obwód prostokąta jest równy podwojonej sumie długości boków:

$2(a+b)=60.$

Jeśli bok $b$ jest o $10$ dłuższy od boku $a$, to

$a+10=b.$

Oba warunki zawiera układ A.

Proste mają równania kierunkowe o współczynnikach $-a$ i $\frac b3$. Układ nie ma rozwiązań, gdy współczynniki kierunkowe są równe, a wyrazy wolne różne.

Dla $a=1$ i $b=-3$ otrzymujemy

$y=-x+2,$ $y=-x-2.$

Są to różne proste równoległe, więc poprawny jest wariant C.

Drugie równanie otrzymujemy, mnożąc pierwsze przez $-2$:

$-2(2x-3y=5)\quad\Longrightarrow\quad -4x+6y=-10.$

Oba równania opisują tę samą prostą, więc każda para spełniająca jedno z nich spełnia także drugie. Rozwiązań jest nieskończenie wiele.

Podstawiamy $x=2$ i $y=1$ do pierwszego równania:

$2+a\cdot1=5,$ $a=3.$

Drugie równanie jest spełnione, bo $2\cdot2-1=3$.

Niech $n$ i $d$ oznaczają licznik i mianownik ułamka. Warunki zadania dają układ

$$\begin{cases} \frac{n+32}{d}=2,\\ \frac{n-6}{d-6}=\frac8{17}. \end{cases}$$

Po usunięciu mianowników:

$$\begin{cases} n-2d=-32,\\ 17n-8d=54. \end{cases}$$

Z pierwszego równania $n=2d-32$. Po podstawieniu do drugiego:

$34d-544-8d=54,$ $d=23,\qquad n=14.$

Liczby $14$ i $23$ są względnie pierwsze.

Niech $n$ oznacza liczbę studentów. Ich łączny wiek wynosi $23n$. Po dołączeniu opiekuna średnia jest równa $24$, więc

$\frac{23n+39}{n+1}=24.$

Stąd

$23n+39=24n+24,$ $n=15.$