MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 143

Wystarczy wskazać rozwiązanie złożone z dwóch liczb niewymiernych. Przyjmijmy

$x=\sqrt3,\qquad y=\sqrt5-3.$

Wtedy

$\sqrt3\cdot\sqrt3+(\sqrt5-3)=3+\sqrt5-3=\sqrt5.$

Obie liczby są niewymierne, więc poprawny jest wariant D.

Z pierwszego równania

$2x-y=7$

otrzymujemy $y=2x-7$. Po dodaniu stron równań wyjściowego układu mamy

$5x=17,$

co jest równoważne równaniu $10x=34$. Taki zapis występuje w wariancie C.

Aby układ miał nieskończenie wiele rozwiązań, oba równania muszą być równoważne. Równanie

$2x+4y=6$

po pomnożeniu przez $\frac32$ ma postać

$3x+6y=9.$

Zatem $a=3$.

Równania zapisujemy w postaci kierunkowej:

$y=3x-4,$ $y=(m-1)x-3.$

Układ jest sprzeczny, gdy proste mają ten sam współczynnik kierunkowy i różne wyrazy wolne:

$m-1=3,$ $m=4.$

Niech $x$ oznacza liczbę punktów za zwycięstwo, a $y$ — za remis. Otrzymujemy

$$\begin{cases} 4x+3y=15,\\ 5x+2y=17. \end{cases}$$

Pierwsze równanie mnożymy przez $2$, drugie przez $3$ i odejmujemy:

$7x=21,$ $x=3.$

Niech $x$ oznacza cenę bułki, a $y$ — serka. Wtedy

$$\begin{cases} 2x+y=4{,}50,\\ 3x+2y=8{,}10. \end{cases}$$

Podwajamy pierwsze równanie i odejmujemy drugie:

$x=0{,}90.$

Następnie $y=4{,}50-2\cdot0{,}90=2{,}70=3x$.

Niech $x$ i $y$ oznaczają masy solanek odpowiednio $8\%$ i $5\%$. Mamy

$$\begin{cases} x+y=2{,}4,\\ 0{,}08x+0{,}05y=0{,}075\cdot2{,}4. \end{cases}$$

Podstawiamy $y=2{,}4-x$:

$0{,}08x+0{,}05(2{,}4-x)=0{,}18,$ $0{,}03x=0{,}06,$ $x=2,\qquad y=0{,}4.$

Solanki $8\%$ było pięć razy więcej.