MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 142

Z odczytanego ze skanu położenia opisów wynika, że pary przeciwległych boków mają długości $x+y$ i $x-2y+3$ oraz $4x-3y-17$ i $2x+y-7$. W równoległoboku przeciwległe boki są równe, zatem

$$\begin{cases} x+y=x-2y+3,\\ 4x-3y-17=2x+y-7. \end{cases}$$

Z pierwszego równania $3y=3$, więc $y=1$. Drugie równanie przyjmuje postać

$2x-4=10,$ $x=7.$

Długości sąsiednich boków wynoszą

$x+y=8,\qquad 2x+y-7=8.$

Wszystkie boki mają długość $8$, więc równoległobok jest rombem.

Niech obecny wiek dziadka będzie równy $d$, a babci $b$. Pierwszy warunek zapisujemy jako

$d=1{,}5(b-10).$

Babcia osiągnie obecny wiek dziadka za $d-b$ lat. Wtedy dziadek będzie miał $d+(d-b)$ lat, zatem

$d+(2d-b)=144,$ $3d-b=144.$

Podstawiamy $d=1{,}5b-15$:

$3(1{,}5b-15)-b=144,$ $3{,}5b=189,$ $b=54,\qquad d=66.$

Traktujmy $p$ i $q$ jako wartości procentowe. Z dzisiejszych cen otrzymujemy

$54\left(1+\frac p{100}\right)+40\left(1-\frac q{100}\right)=92{,}70,$ $54p-40q=-130.$

Z sytuacji hipotetycznej:

$54\left(1-\frac q{100}\right)+40\left(1+\frac p{100}\right)=90{,}60,$ $40p-54q=-340.$

Rozwiązanie układu to $p=5$ i $q=10$. Dzisiejsze ceny wynoszą więc

$54\cdot1{,}05=56{,}70\ \text{zł},$ $40\cdot0{,}90=36\ \text{zł}.$

W $100$ g roztworu $5\%$ ma być $5$ g cukru.

Pierwsza możliwość: mieszamy po $50$ g roztworów $2\%$ i $8\%$:

$0{,}02\cdot50+0{,}08\cdot50=1+4=5\ \text{g}.$

Druga możliwość: niech $x$ oznacza masę roztworu $4\%$, a $y$ — $8\%$:

$$\begin{cases} x+y=100,\\ 0{,}04x+0{,}08y=5. \end{cases}$$

Po podstawieniu $x=100-y$ dostajemy $y=25$ i $x=75$.

Niech $k$, $p$ i $m$ oznaczają masy kota, psa i myszy. Mamy

$k+m=2{,}9,$ $p+m=3{,}2.$

Odejmując pierwsze równanie od drugiego, otrzymujemy

$p-k=0{,}3.$

Zatem pies jest cięższy od kota o $0{,}3$ kg.

Niech $x$ oznacza długość odcinka pokonywanego do szkoły pod górę, a $y$ — z górki. W drodze powrotnej role odcinków się zamieniają. Czasy w godzinach dają układ

$$\begin{cases} \frac{x}{12}+\frac{y}{15}=\frac{23}{60},\\ \frac{x}{15}+\frac{y}{12}=\frac{22}{60}. \end{cases}$$

Po pomnożeniu przez $60$:

$$\begin{cases} 5x+4y=23,\\ 4x+5y=22. \end{cases}$$

Dodanie równań daje $9x+9y=45$, czyli $x+y=5$ km.