MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 141

Niech $x$ oznacza liczbę zeszytów w kratkę, a $y$ — liczbę zeszytów w linie. Są to dodatnie liczby całkowite i

$8x+7y=60.$

Po rozpatrzeniu równania modulo $7$ otrzymujemy $x\equiv 4\pmod 7$. Ponieważ $8x<60$, jedyną możliwą dodatnią wartością jest $x=4$.

$y=\frac{60-8\cdot4}{7}=4.$

Łącznie Bolek kupił $4+4=8$ zeszytów.

Niech $x$ oznacza liczbę monet dwuzłotowych, a $y$ — pięciozłotowych. Z warunków zadania:

$$\begin{cases} 2x+5y=51,\\ x=y+1. \end{cases}$$

Podstawiamy drugie równanie do pierwszego:

$2(y+1)+5y=51,$ $7y=49,$ $y=7,\qquad x=8.$

Niech $x$ oznacza liczbę małych kanapek, a $y$ — dużych. Otrzymujemy układ

$$\begin{cases} 2{,}5x+3{,}5y=123,\\ 5{,}8x+6{,}9y=263{,}4. \end{cases}$$

Po pomnożeniu pierwszego równania przez $2$ i drugiego przez $10$:

$$\begin{cases} 5x+7y=246,\\ 58x+69y=2634. \end{cases}$$

Mnożymy pierwsze równanie przez $58$, a drugie przez $5$ i odejmujemy:

$61y=1098,$ $y=18.$

Następnie $5x+7\cdot18=246$, więc $x=24$.

Niech początkowo w kolejce będzie $w$ pań i $m$ panów. Początkowo

$w=0{,}8m=\frac45m.$

Po wejściu jednej pani do gabinetu i dołączeniu dwóch pań w kolejce jest $w+1$ pań. Panów zostaje $m-4$. Stanowią oni $40\%$ wszystkich oczekujących, zatem

$m-4=\frac25\bigl((w+1)+(m-4)\bigr).$

Po pomnożeniu przez $5$ i uporządkowaniu:

$3m-14=2w.$

Podstawiamy $w=\frac45m$:

$3m-14=\frac85m,$ $m=10,\qquad w=8.$

Po zmianach było więc $w+1=9$ pań i $m-4=6$ panów.

Skan strony pokazuje, że dziewczęta z klasy 1A stanowią $\frac23$ uczniów tej klasy; zapis $\frac25$ w źródłowym Markdownzie jest błędem OCR.

Niech $a$ i $b$ oznaczają liczby uczniów odpowiednio w klasach 1A i 1B. Wtedy

$$\begin{cases} a+b=55,\\ \frac23a+\frac35b=35. \end{cases}$$

Drugie równanie mnożymy przez $15$:

$10a+9b=525.$

Od niego odejmujemy równanie $9a+9b=495$, otrzymując $a=30$, a następnie $b=25$.

Chłopcy stanowią $\frac13$ klasy 1A i $\frac25$ klasy 1B:

$\frac13\cdot30=10,\qquad \frac25\cdot25=10.$

Zapiszmy liczbę jako $x=600+10a+b$, gdzie $a$ jest cyfrą dziesiątek, a $b$ — jedności.

Zamiana cyfry setek z cyfrą jedności daje

$100b+10a+6=x-99=501+10a+b,$ $99b=495,$ $b=5.$

Po zamianie cyfry setek z cyfrą dziesiątek otrzymujemy $100a+65$, więc

$100a+65=0{,}424(605+10a).$

Ponieważ $0{,}424=\frac{53}{125}$, po pomnożeniu przez $125$ mamy

$12500a+8125=32065+530a,$ $a=2.$

Stąd $x=625$.

Niech $k$ oznacza wiek Kingi, a $m$ — wiek Michała. Łączny wiek wszystkich osób wynosi

$9\cdot16=144,$

zatem

$k+m+64+46=144,$ $k+m=34.$

Grupa Kingi liczy $5$ osób, a grupa Michała $4$ osoby. Równość średnich daje

$\frac{k+64}{5}=\frac{m+46}{4},$ $4k-5m=-26.$

Podstawiamy $m=34-k$:

$4k-5(34-k)=-26,$ $9k=144,$ $k=16,\qquad m=18.$

Niech obecny wiek wnuczka będzie równy $x$. Dziadek ma wtedy $10x$ lat. Za osiem lat suma ich wieków będzie równa

$x+8+10x+8=82.$

Stąd

$11x=66,$ $x=6.$

Za trzynaście lat wnuczek będzie miał $6+13=19$ lat.

Pięć pań waży łącznie $5\cdot48=240$ kg, a czterech panów $4\cdot51=204$ kg. Niech $x$ i $y$ oznaczają masy najcięższej pani i najcięższego pana.

Po ich pominięciu zostaje siedem osób o średniej $47\frac67=\frac{335}{7}$ kg, więc ich łączna masa to $335$ kg. Zatem

$240+204-x-y=335,$ $x+y=109.$

Średnie pozostałych pań i panów spełniają warunek

$\frac{240-x}{4}=\frac{204-y}{3}-2.$

Po pomnożeniu przez $12$ otrzymujemy

$4y-3x=72.$

Podstawiamy $y=109-x$:

$4(109-x)-3x=72,$ $x=52,\qquad y=57.$