MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 140

Dodanie równań układu daje $7y=7m-28$, więc $y=m-4$. Z drugiego równania

$3x+2(m-4)=5m-11,$

stąd $x=m-1$. Warunek $x+y=1$ ma więc postać

$(m-1)+(m-4)=1,$

czyli $2m=6$ i $m=3$.

Rozwiązanie układu zależne od parametru jest równe

$x=3-m,qquad y=1+2m.$

a) Obie liczby są dodatnie, gdy $m<3$ i $m>-\frac12$, czyli $m\in\left(-\frac12;3\right)$.

b) Mają różne znaki, gdy $(3-m)(1+2m)<0$, czyli $m\in\left(-\infty;-\frac12\right)\cup(3;\infty)$.

c) Dla obu ujemnych trzeba jednocześnie $m>3$ i $m<-\frac12$, co jest niemożliwe.

a) Rozwiązaniem układu jest

$x=\frac{3m+5}{5},\qquad y=-\frac{2(m+5)}5.$

Warunek $xy<0$ jest równoważny $(3m+5)(m+5)>0$, więc $m\in(-\infty;-5)\cup\left(-\frac53;\infty\right)$.

b) Otrzymujemy

$x=-2(5m+2),\qquad y=-3(m+2).$

Warunek $xy<0$ daje $(5m+2)(m+2)<0$, czyli $m\in\left(-2;-\frac25\right)$.

Rozwiązujemy układ względem $a$. Po dodaniu pierwszego równania do dwukrotności drugiego otrzymujemy

$x=\frac{3a-1}{8},\qquad y=\frac{3-a}{16}.$

Warunek $-2<x<2$ daje $-5<a<\frac{17}{3}$, a warunek $0<y<4$ daje $-61<a<3$. Częścią wspólną tych przedziałów jest $(-5;3)$.

Z pierwszego równania $y=4x-a$. Po podstawieniu do drugiego dostajemy

$(a+4)x=a+b+2.$

Dla $a\ne-4$ równanie ma jedno rozwiązanie niezależnie od $b$. Dla $a=-4$ lewa strona jest zerem, a prawa wynosi $b-2$. Aby także wtedy istniało rozwiązanie, musi zachodzić $b-2=0$.

a) Niech $u=|x|\ge0$. Układ daje

$u=\frac{6-a}{3},qquad y=3-2u.$

Dla $u>0$ istnieją dwa rozwiązania $x=\pm u$, dla $u<0$ nie ma żadnego, a dokładnie jedno jest przy $u=0$. Stąd $a=6$, $x=0$, $y=3$.

b) Niech $v=|y|\ge0$. Wtedy

$v=\frac{12-a}{4},qquad x=4-v.$

Tak samo dokładnie jedno rozwiązanie występuje dla $v=0$, czyli przy $a=12$. Wówczas $x=4$, $y=0$.

Dodajemy równania stronami. Otrzymujemy

$5x+5y+5z=11,$

czyli $5(x+y+z)=11$. Gdyby $x,y,z$ były całkowite, lewa strona byłaby podzielna przez $5$, a prawa nie jest. Sprzeczność dowodzi, że taka trójka liczb całkowitych nie istnieje.

Niech szukane liczby będą równe $x,y$. Z danych

$x+y=2\sqrt7,qquad x-y=2\sqrt6.$

Korzystamy z tożsamości $(x+y)^2-(x-y)^2=4xy$:

$4xy=(2\sqrt7)^2-(2\sqrt6)^2=28-24=4.$

Zatem $xy=1$, co należało wykazać.