MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 139

Dany układ po pomnożeniu obu równań przez $12$ ma postać

$-9x+10y=96,qquad 3x+2y=0.$

Trzykrotność drugiego równania dodana do pierwszego daje $16y=96$, więc $y=6$, a następnie $x=-4$. Ta para spełnia dane równanie, bo $2(-4)-0{,}5\cdot6=-11$. Można dopisać dowolne niezależne równanie przechodzące przez ten punkt, na przykład $x+y=2$.

Dodanie równań daje

$\frac{2x}{\sqrt3}=4,$

więc $x=2\sqrt3$. Po odjęciu drugiego równania od pierwszego otrzymujemy

$\frac{2y}{\sqrt5}=2-2\sqrt3,$

czyli $y=\sqrt5(1-\sqrt3)=\sqrt5-\sqrt{15}$.

Macierz współczynników układu jest równa

$\begin{pmatrix}6&-2\\1{,}8&0{,}8\end{pmatrix}.$

Jej wyznacznik wynosi

$6\cdot0{,}8-(-2)\cdot1{,}8=4{,}8+3{,}6=8{,}4\ne0.$

Nie zależy on od $m$. Układ o niezerowym wyznaczniku ma dokładnie jedno rozwiązanie, więc jest oznaczony dla każdego $m\in\mathbb R$.

Równanie zapisujemy jako różnicę kwadratów:

$(2x-y)(2x+y)=7.$

Oba czynniki są całkowite. Rozpatrujemy pary dzielników $(1,7)$, $(7,1)$, $(-1,-7)$ i $(-7,-1)$. Dla $A=2x-y$, $B=2x+y$ mamy

$x=\frac{A+B}{4},\qquad y=\frac{B-A}{2}.$

Kolejne pary czynników dają $(2,3)$, $(2,-3)$, $(-2,-3)$ i $(-2,3)$.

Podstawiamy podane $x,y$ i rozwiązujemy powstałe układy względem $a,b$.

a) $-3a+b=4$, $-3a-b=2$, stąd $a=-1$, $b=1$.

b) $2a-b=3$, $a+2b=4$, stąd $a=2$, $b=1$.

c) $a+3b=a+3$, $a-3b=6$, stąd $b=1$, $a=9$.

d) $a+4=2$, $a+5=b-2$, stąd $a=-2$, $b=5$.

Aby układ miał nieskończenie wiele rozwiązań, drugie równanie musi być dwukrotnością pierwszego. Po pomnożeniu pierwszego równania przez $2$ mamy

$4x-6y=2b.$

Porównanie z $4x+ay=2$ daje $a=-6$ oraz $2b=2$, czyli $b=1$.

a) Wyznacznik wynosi $6-m$. Dla $m\ne6$ jest jedno rozwiązanie. Dla $m=6$ drugie równanie jest trzykrotnością pierwszego, więc rozwiązań jest nieskończenie wiele.

b) Wyznacznik wynosi $m+6$. Dla $m\ne-6$ jest jedno rozwiązanie. Dla $m=-6$ lewe strony są proporcjonalne, lecz prawe strony nie, więc brak rozwiązań.

c) Wyznacznik to $m^2-1$. Dla $m\notin\{-1,1\}$ jest jedno rozwiązanie. Dla $m=1$ równania są identyczne, więc rozwiązań jest nieskończenie wiele. Dla $m=-1$ lewe strony są przeciwne, a prawe równe $3$, więc układ jest sprzeczny.

Po dodaniu równań otrzymujemy

$3x=3+2a,$

więc $x=1+\frac{2a}{3}$. Z pierwszego równania $y=x-2+a=-1+\frac{5a}{3}$. Warunki dają

$1+\frac{2a}{3}\ge2\quad\Longrightarrow\quad a\ge\frac32,$ $-1+\frac{5a}{3}\le5\quad\Longrightarrow\quad a\le\frac{18}{5}.$