MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 13

Ze skanu odczytujemy liczbę równych odcinków na każdej osi.

Dla $x$ różnica między $\frac{5}{12}$ i $\frac56$ jest podzielona na $6$ części, a $x$ leży trzy części od lewego końca. Zatem $x=\frac5{12}+3\cdot\frac{\frac56-\frac5{12}}6=\frac58.$

Dla $y$ różnica między $\frac25$ i $\frac{19}{30}$ jest podzielona na $8$ części, a $y$ leży sześć części od lewego końca. Stąd $y=\frac25+6\cdot\frac{\frac{19}{30}-\frac25}{8}=\frac{23}{40}.$

Dla $z$ różnica między $\frac9{20}$ i $\frac34$ jest podzielona na $6$ części, a $z$ leży dwie części od lewego końca. Otrzymujemy $z=\frac9{20}+2\cdot\frac{\frac34-\frac9{20}}6=\frac{11}{20}.$

Po sprowadzeniu do mianownika $40$ mamy $z=\frac{22}{40}$, $y=\frac{23}{40}$, $x=\frac{25}{40}$.

Sprowadzamy składniki do wspólnych mianowników.

a) $\frac{17}{5}+\frac73-\frac92=\frac{37}{30}=1\frac7{30}$.

b) $5-\frac{29}{6}+\frac{17}{8}=\frac{55}{24}=2\frac7{24}$.

c)

=\frac{111}{20}-\frac{139}{20}=-\frac75=-1{,}4.$$ **d)** $\frac{17}{12}-(\frac{52}{15}-\frac{23}{10}) =\frac{17}{12}-\frac76=\frac14$. **e)** $\frac94-(\frac{49}{12}+\frac{29}{9}-\frac{55}{18}) =\frac94-\frac{17}{4}=-2$. **f)** $\frac{43}{20}-(\frac{17}{10}-\frac{31}{15})-\frac{23}{6} =-\frac{79}{60}=-1\frac{19}{60}$.

a) Przy równych mianownikach porównujemy liczniki: $32<34$.

b) Przy równych dodatnich licznikach mniejszy mianownik daje większy ułamek, więc $\frac{13}{121}>\frac{13}{122}$.

c) Iloczyny krzyżowe to $5\cdot7=35<36=6\cdot6$.

d) $5\cdot9=45<48=8\cdot6$.

e) $\frac{120}{168}=\frac57$ po skróceniu przez $24$.

f) $0{,}125=\frac{125}{1000}=\frac18$.

g) $0{,}34=\frac{34}{100}<\frac{34}{99}$.

h) Ponieważ $\frac56<\frac67$, po zmianie znaków nierówność się odwraca: $-\frac56>-\frac67$.

a) $\frac27+\frac59=\frac{18}{63}+\frac{35}{63}=\frac{53}{63}$.

b) $\frac15-1\frac14=\frac4{20}-\frac{25}{20} =-\frac{21}{20}=-1\frac1{20}$.

c) $\frac37\cdot2\frac9{20}=\frac37\cdot\frac{49}{20} =\frac{21}{20}=1\frac1{20}$.

d) $2\frac34:\frac{11}{10}=\frac{11}{4}\cdot\frac{10}{11} =\frac52=2\frac12$.

Sprowadzamy każdą liczbę do ułamka nieskracalnego.

a) $-8=-\frac81$.

b) $4\frac17=\frac{29}{7}$.

c) $-15{,}6=-\frac{156}{10}=-\frac{78}{5}$.

d) $\frac{140}{21}=\frac{20}{3}$ po skróceniu przez $7$.

e) $\frac{244}{168}=\frac{61}{42}$ po skróceniu przez $4$.

Każdy czynnik ma postać $1-\frac1k=\frac{k-1}{k}$. Iloczyn teleskopuje:

$$\frac9{10}\cdot\frac{10}{11}\cdot\frac{11}{12}\cdot\ldots\cdot \frac{17}{18}=\frac9{18}=\frac12.$$

Dla liczby $x$ każdy składnik jest mniejszy od $\frac13$, ponieważ $3\cdot48<151,\qquad3\cdot251<800,\qquad3\cdot110<333.$ Zatem $x<1$.

Dla liczby $y$ każdy składnik jest większy od $\frac13$, gdyż $3\cdot301>900,\qquad3\cdot222>665,\qquad3\cdot134>400.$ Stąd $y>1$.

Dla liczby $z$ każdy składnik jest mniejszy od $\frac13$, bo $3\cdot81<245,\qquad3\cdot317<960,\qquad3\cdot199<600.$ Zatem $z<1$. Jedynie $y$ jest większe od $1$.

a)

\frac{669}{63}=\frac{223}{21},\quad\frac{672}{64}=\frac{21}{2}.$$ Liczbami całkowitymi są $20$ i $-2$, więc większa jest $20$. **b)** $$-\frac{540}{45}=-12,\quad\frac{84}{98}=\frac67,\quad \frac{528}{24}=22,\quad-\frac{624}{48}=-13,\quad \frac{588}{126}=\frac{14}{3}.$$ Spośród liczb całkowitych $-12$, $22$, $-13$ największa jest $22$.

Rozszerzamy końce każdego przedziału do wspólnego mianownika.

a) $\frac49=\frac{16}{36}$, $\frac59=\frac{20}{36}$, więc można wybrać $\frac{17}{36}$, $\frac{18}{36}$, $\frac{19}{36}$.

b) $2\frac17=2\frac{24}{168}$, $2\frac16=2\frac{28}{168}$, więc pasują $2\frac{25}{168}$, $2\frac{26}{168}$, $2\frac{27}{168}$.

c) $3\frac3{10}=3\frac{66}{220}$ i $3\frac3{11}=3\frac{60}{220}$. Po uwzględnieniu znaków minus między końcami leżą na przykład $-3\frac{65}{220}$, $-3\frac{64}{220}$, $-3\frac{63}{220}$.