MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 138

Kolejne układy dają:

$y=3x,\quad 2x+5y=17 \quad\Longrightarrow\quad P=(1,3),$ $x+4y=19,\quad 3x-2y=15 \quad\Longrightarrow\quad Q=(7,3),$ $2x+3y=27,\quad 5x-y=25 \quad\Longrightarrow\quad R=(6,5).$

Odcinek $PQ$ jest poziomy i ma długość $6$, a wysokość trójkąta opuszczona z $R$ ma długość $2$. Zatem

$P_{\triangle PQR}=\frac12\cdot6\cdot2=6.$

Drugi układ powstaje z pierwszego po zamianie miejscami zmiennych $x$ i $y$. Rozwiązujemy pierwszy. Po pomnożeniu pierwszego równania przez $14$ mamy $14x+6y=-35$. Wraz z $14x-3y=28$ daje to $9y=-63$, więc $y=-7$. Następnie $14x+21=28$, czyli $x=\frac12$.

Po zamianie współrzędnych rozwiązaniem drugiego układu jest $x=-7$, $y=\frac12$.

Po usunięciu nawiasów i mianowników układy przyjmują prostszą postać.

a) $5x+2y=23$, $9x-y=0$. Stąd $y=9x$, więc $x=1$, $y=9$.

b) $y=3x-17$, $4x+7y=6$. Stąd $25x=125$, więc $x=5$, $y=-2$.

c) $7x-6y=-68$, $-4x+3y=38$. Po dodaniu pierwszego równania do dwukrotności drugiego mamy $-x=8$, zatem $x=-8$, $y=2$.

d) $7x-4y=38$, $2x+7y=-38$. Eliminacja daje $x=2$, $y=-6$.

a) Po rozwinięciu pierwszego równania redukują się składniki kwadratowe i otrzymujemy $x-2y=0$. Drugie równanie upraszcza się do $x-y=4$. Zatem $x=2y$ i $y=4$, czyli $x=8$.

b) Wprowadźmy $s=x+y$ i $d=x-y$. Pierwsze równanie daje $d(s+1)=(d+2)s$, czyli $d=2s$. Drugie daje $s(d-2)=(d+1)s$, czyli $3s=0$. Stąd $s=d=0$, a więc $x=y=0$.

Stosujemy eliminację przeciwnych współczynników.

a) Po pomnożeniu pierwszego równania przez $-2$ i dodaniu drugiego $10y=-10$, więc $y=-1$, a $x=5$.

b) Po dodaniu równań $6y=3$, więc $y=\frac12$, a $x=10$.

c) Dwa razy pierwsze równanie dodane do drugiego daje $7y=\frac73$, więc $y=\frac13$ i $x=0$.

d) Dodanie równań daje $5\sqrt3x=15$, więc $x=\sqrt3$. Pierwsze równanie daje następnie $y=2\sqrt2$.

a) Po dodaniu równań współczynniki przy $y$ się redukują i dostajemy $x=2{,}5$. Z pierwszego równania $3{,}625y=0{,}928\cdot2{,}5=2{,}32$, więc $y=0{,}64$.

b) Po dodaniu równań współczynniki przy $x$ się redukują, a suma współczynników przy $y$ jest równa $3$. Prawa strona sumuje się do $-6$, więc $y=-2$. Po podstawieniu do pierwszego równania $(\sqrt3-1)x=0$, stąd $x=0$.