MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 137

Podstawiamy $x=2$, $y=3$. Otrzymujemy kolejno

$4x-y=5\ne8,$ $x+5y=17,$ $-x+3y=7,$ $5x-8y=-14\ne-1.$

Parę spełniają więc dokładnie równania II i III.

Proste wyznaczone przez dwa równania układu muszą być odpowiednio: przecinające się, pokrywające się albo równoległe i różne. Przykładowo można dopisać:

a) $x+2y=14$ — współczynniki nie są proporcjonalne;

b) $6x+8y=48$ — równanie jest dwukrotnością danego;

c) $3x+4y=25$ — lewe strony są takie same, a prawe różne.

Dla $x=-3$, $y=4$ sprawdzamy oba równania każdego układu.

I. $2x-3y=-18$ oraz $-x-y=-1$.

II. $\frac23x+y=2$ oraz $x-\frac14y=-4$.

III. $0{,}2x-3y=-12{,}6$ oraz $4x+0{,}3y=-10{,}8$.

W każdym przypadku obie równości są spełnione.

I. Po podstawieniu $y=x+6$ do $x-y=6$ otrzymujemy $x-(x+6)=6$, czyli $-6=6$. Układ jest sprzeczny, więc zdanie jest prawdziwe.

II. Pierwsze równanie jest równoważne równaniu $5x=348$. Jeśli dopiszemy drugie równanie $5x=348$, oba będą równoważne, a $y$ pozostanie dowolne. Układ będzie miał nieskończenie wiele rozwiązań, więc drugie zdanie też jest prawdziwe.

Pierwsze równanie po pomnożeniu przez $4$ ma postać $2x+y=-2$. Drugie to $x-3y=-15$. Z pierwszego $y=-2-2x$, zatem

$x-3(-2-2x)=-15,$

czyli $7x=-21$. Stąd $x=-3$, $y=4$. Ponieważ $(-3)^2+4^2=9+16=25$, para spełnia również podane równanie.

Każdy łańcuch trzech równych wyrażeń zapisujemy jako dwa równania.

a) Po uproszczeniu dostajemy jednocześnie $6x+y=-6$ i $6x+y=-2$, więc układ jest sprzeczny.

b) Otrzymujemy $3x+5y=-21$ oraz $x-y=1$. Po podstawieniu $x=y+1$ mamy $8y=-24$, więc $x=-2$, $y=-3$.

c) Obie równości sprowadzają się do $x-5y=-4$. Układ jest nieoznaczony: $x=5y-4$, gdzie $y\in\mathbb R$.

W każdym podpunkcie wystarczą dwie równości między trzema wyrażeniami.

a) $A=B$ i $B=C$ dają $5x+y=1$, $x+4y=-1$, stąd $x=\frac5{19}$, $y=-\frac6{19}$.

b) $A=B$ i $B=D$ dają $5x+y=1$, $3x+8y=-2$, stąd $x=\frac{10}{37}$, $y=-\frac{13}{37}$.

c) $A=C$ i $C=D$ dają $4x-3y=2$, $2x+4y=-1$, stąd $x=\frac5{22}$, $y=-\frac4{11}$.

d) $B=C$ i $C=D$ dają $x+4y=-1$, $2x+4y=-1$, stąd $x=0$, $y=-\frac14$.