MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 136

Niech $u$ będzie prędkością ciężarówki, a $v$ samochodu osobowego. Do pierwszego spotkania ciężarówka jechała $\frac32$ godziny, a samochód $\frac43$ godziny, więc

$\frac32u+\frac43v=140.$

Do 12.30 ciężarówka była w ruchu przez $4$ godziny (po odjęciu rozładunku), a samochód przez $\frac{13}{3}$ godziny. Do drugiego spotkania ich łączne drogi wyniosły $3\cdot140=420$ km, zatem

$4u+\frac{13}{3}v=420.$

Po usunięciu mianowników mamy $9u+8v=840$ i $12u+13v=1260$. Eliminacja daje $v=60$, a następnie $u=40$.

W pierwszym pojemniku jest $0{,}05\cdot3=0{,}15$ kg soli, a w drugim $0{,}08\cdot5=0{,}4$ kg. Niech dolano odpowiednio $x$ i $y$ kg wody. Wtedy

$x+y=14,qquad \frac{0{,}15}{3+x}=\frac{0{,}4}{5+y}.$

Po podstawieniu $y=14-x$ dostajemy $0{,}15(19-x)=0{,}4(3+x)$, skąd $x=3$ i $y=11$. Końcowe stężenie wynosi $\frac{0{,}15}{6}=0{,}025=2{,}5\%$.

Niech użyto $x$ g roztworu $15\%$ i $y$ g roztworu $20\%$. Dla mieszaniny Bolka oraz Lolka otrzymujemy kolejno

$0{,}15x+0{,}20y=0{,}13(x+y+150),$ $0{,}15x+0{,}20y+15=0{,}16(x+y+150).$

Po uproszczeniu jest to układ

$0{,}02x+0{,}07y=19{,}5,qquad -0{,}01x+0{,}04y=9.$

Z drugiego równania $x=4y-900$. Podstawienie do pierwszego daje $15y=3750$, więc $y=250$ i $x=100$.

Niech wydajności zaworów będą równe $a$ i $b$ w $\mathrm{m}^3/\mathrm h$. W rzeczywistym przebiegu pierwszy zawór działał $6{,}5$ h, a drugi $3{,}5$ h:

$6{,}5a+3{,}5b=520.$

Gdyby drugi otwarto godzinę później, działałby $2{,}5$ h, a objętość wody wyniosłaby $\frac34\cdot520=390\ \mathrm{m}^3$:

$6{,}5a+2{,}5b=390.$

Odjęcie równań daje $b=130$, a następnie $a=10$.

Niech mały zawór był otwarty przez $S$ godzin, a duży przez $D$ godzin. Ich wydajności to odpowiednio $\frac1{10}$ i $\frac15$ basenu na godzinę. Ponieważ przez $2{,}5$ godziny działały razem, suma czasów otwarcia jest równa całemu czasowi procesu powiększonemu o czas wspólny:

$S+D=4+2{,}5=6{,}5.$

Bilans napełnienia daje $\frac S{10}+\frac D5=1$, czyli $S+2D=10$. Stąd $D=3{,}5$ i $S=3$.

W ciągu minuty Adam pokonuje $\frac1{20}$ trasy, a Bartek $\frac1{30}$. Jeśli Adam dogoni Bartka po $t$ minutach od swojego startu, Bartek jedzie wtedy od $t+5$ minut. Zatem

$\frac t{20}=\frac{t+5}{30}.$

Stąd $3t=2t+10$, więc $t=10$.

Niech całe przejazdy Adama i Bartka trwają odpowiednio $A$ i $B$ minut. W chwili spotkania w połowie drogi Adam jedzie od $\frac A2$ minut, a Bartek od $\frac B2$ minut, przy czym Bartek wystartował $10$ minut wcześniej:

$\frac B2=\frac A2+10,$

czyli $B=A+20$. Gdy Adam dojeżdża do szkoły, Bartek jedzie od $A+10$ minut i pokonał $\frac34$ trasy, więc $A+10=\frac34B$. Po podstawieniu $B=A+20$ otrzymujemy $A=20$ i $B=40$.