MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 135

Niech $k$ i $s$ oznaczają masy kulki i kostki. Mamy $k+s=45$. Udziały złota w obu stopach wynoszą $\frac{15}{16}$ i $\frac{20}{23}$, a w stopie końcowym $\frac89$. Bilans złota daje

$\frac{15}{16}k+\frac{20}{23}s=\frac89\cdot45=40.$

Po podstawieniu $s=45-k$ otrzymujemy $k=12{,}8$, a następnie $s=32{,}2$. Kontrola: w kulce było $12$ g złota, a w kostce $28$ g, razem $40$ g.

Niech autobusy z A i B jadą z prędkościami $u$ i $v$, a do spotkania jadą przez $t$ godzin. Po spotkaniu autobus z A ma do przejechania drogę wcześniej przebytą przez autobus z B, dlatego $\frac{vt}{u}=0{,}9$. Analogicznie $\frac{ut}{v}=1{,}6$. Po pomnożeniu równań mamy $t^2=1{,}44$, więc $t=1{,}2$.

Do spotkania oba autobusy pokonały razem $168$ km, zatem $u+v=140$. Ponadto $\frac uv=\frac{1{,}6}{1{,}2}=\frac43$. Stąd $u=80$ i $v=60$.

O godzinie 16.00 mikrobus miał już $60$ km przewagi. Jeśli $t$ oznacza liczbę godzin od 16.00 do spotkania, to

$60+60t+70t=320.$

Stąd $130t=260$, więc $t=2$. Spotkanie nastąpiło o 18.00. Mikrobus jechał wtedy od trzech godzin i pokonał $3\cdot60=180$ km od Opola.

Niech pierwszy odcinek ma długość $x$, a drugi $x+60$. Definicja średniej prędkości daje

$\frac{x}{70}+\frac{x+60}{90}=\frac{2x+60}{80}.$

Po pomnożeniu przez $5040$ otrzymujemy $72x+56(x+60)=63(2x+60)$, więc $2x=420$ i $x=210$. Cała droga ma długość $2x+60=480$ km.

Przy biegu w przeciwnych kierunkach suma prędkości wynosi $360:40=9\ \mathrm{m/s}$. Niech $v$ będzie prędkością szybszego, a $u$ wolniejszego. W czasie jednego okrążenia szybszego drugi przebiega $360-72=288$ m, zatem

$\frac uv=\frac{288}{360}=\frac45.$

Z równań $u+v=9$ i $u=\frac45v$ otrzymujemy $v=5$ oraz $u=4$.

Niech w kierunku A–B odcinki pod górę, po płaskim i z góry mają długości $p,f,d$. W godzinach otrzymujemy

$p+f+d=6,$

\frac d3+\frac f4+\frac p5=\frac{99}{60}.$$ Po odjęciu dwóch równań czasu mamy $\frac{2}{15}(d-p)=\frac{8}{60}$, więc $d-p=1$. Dodanie równań czasu i użycie $f=6-p-d$ daje $p+d=5$, zatem $p=2$, $d=3$ i $f=1$.

Niech oprocentowanie w banku A będzie równe $r$, a w banku B $r+0{,}005$. Kwota netto odsetek wyniosła $10304-10000=304$ zł. Ponieważ podatek to $20\%$, odsetki brutto były równe $304:0{,}8=380$ zł. Zatem

$6000r+4000(r+0{,}005)=380.$

Stąd $10000r=360$, czyli $r=0{,}036$.