MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 134

Niech $x$ i $y$ oznaczają masy roztworów $3\%$ i $12\%$. Wtedy

$x+y=450,qquad 0{,}03x+0{,}12y=0{,}05\cdot450.$

Po odjęciu $0{,}03(x+y)=13{,}5$ otrzymujemy $0{,}09y=9$, więc $y=100$ i $x=350$.

Drugiego roztworu dolano $200-120=80$ g. Niech stężenie pierwszego wynosi $p\%$, a drugiego $2p\%$. Bilans masy soli daje

$\frac{120p+80\cdot2p}{100}=200\cdot0{,}07=14.$

Stąd $2{,}8p=14$, więc $p=5$.

Niech $x$ oznacza masę jogurtu $3{,}2\%$, a $y$ masę jogurtu $1{,}5\%$. Mamy

$x+y=1{,}7,qquad 0{,}032x+0{,}015y=0{,}02\cdot1{,}7.$

Po odjęciu $0{,}015(x+y)=0{,}0255$ dostajemy $0{,}017x=0{,}0085$, czyli $x=0{,}5$ i $y=1{,}2$.

Prędkość względem brzegu wynosiła z prądem

$\frac{3}{5/60}=36\ \mathrm{km/h},$

a pod prąd

$\frac{3}{6/60}=30\ \mathrm{km/h}.$

Jeśli $v$ jest prędkością własną motorówki, a $r$ prędkością prądu, to $v+r=36$ i $v-r=30$. Stąd $2r=6$.

Z prądem prom płynie względem brzegu z prędkością $90:3=30\ \mathrm{km/h}$, a pod prąd z prędkością $90:4{,}5=20\ \mathrm{km/h}$. Dla prędkości własnej $v$ i prędkości prądu $r$ mamy

$v+r=30,qquad v-r=20.$

Dodanie i odjęcie równań daje $v=25$ oraz $r=5$.

Niech prędkość prądu będzie równa $r$. Prędkość własna kajaka to $r+3$, więc pod prąd kajak płynie z prędkością $3\ \mathrm{km/h}$ i potrzebuje $36:3=12$ godzin. Z prądem płynie o $8$ godzin krócej, czyli $4$ godziny, z prędkością $36:4=9\ \mathrm{km/h}$. Zatem

$2r+3=9,$

skąd $r=3$. Łączny czas wynosi $12+4=16$ godzin.

Jeśli $v$ oznacza prędkość własną statku, a $r$ prędkość prądu, to

$v+r=x,qquad v-r=y.$

Dodając równania, otrzymujemy $2v=x+y$, a odejmując drugie od pierwszego $2r=x-y$.

Niech osiem lat temu ojciec miał $F$ lat. Matka miała wtedy $0{,}75F$ lat. Obecnie

$0{,}75F+8=0{,}8(F+8),$

więc $F=32$. Obecne wieki to $40$ i $32$ lata. Za $t$ lat ma zachodzić

$32+t=0{,}84(40+t).$

Stąd $0{,}16t=1{,}6$, czyli $t=10$.

Niech białych piłeczek będzie $w$. Zielonych jest $1{,}5w$. Ponieważ ich liczba jest średnią liczby białych i czarnych, czarnych jest $2\cdot1{,}5w-w=2w$. Zatem

$w+1{,}5w+2w=180,$

więc liczby piłeczek to odpowiednio $40,60,80$. Średnia liczby zielonych i czarnych wynosi $70$. Liczbę białych trzeba zwiększyć o $30$, czyli o $\frac{30}{40}\cdot100\%=75\%$.

Niech najkrótszy bok ma długość $x$, a obwód będzie równy $P$. Średni bok ma $1{,}2x$, najdłuższy $0{,}45P$, a ponadto $P=x+13{,}5$. Z sumy boków

$P=x+1{,}2x+0{,}45P,$

czyli $0{,}55P=2{,}2x$ i $P=4x$. Zatem $4x=x+13{,}5$, więc $x=4{,}5$. Pozostałe boki mają długości $5{,}4$ i $8{,}1$ cm.