MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 133

Niech $x,y,z$ oznaczają kwoty otrzymane przez kolejne osoby. Ponieważ $x+y+z=240$, warunek dla pierwszej osoby daje

$x=30+0{,}2(240-x),$

skąd $x=65$. Analogicznie

$y=40+0{,}25(240-y),$

więc $y=80$, a $z=240-65-80=95$. Zatem wszyscy nie dostali po równo, natomiast $y-x=15=z-y$ oraz $z-x=30$.

Niech na początku było $d$ dziewcząt i $c$ chłopców. Wtedy

$d+c=30,qquad 1{,}1d+0{,}9c=29.$

Po odjęciu od drugiego równania $0{,}9(d+c)=27$ otrzymujemy $0{,}2d=2$, czyli $d=10$ i $c=20$. Obecnie jest więc $1{,}1d=11$ dziewcząt i $0{,}9c=18$ chłopców.

Niech $x$ będzie kwotą z pierwszego banku, a $y$ z drugiego. Mamy

$x+y=23000,qquad 0{,}126x+0{,}136y=3003.$

Po podstawieniu $x=23000-y$ dostajemy $2898+0{,}01y=3003$, więc $y=10500$, a $x=12500$.

Niech średnia prędkość autokaru wynosi $v\ \mathrm{km/h}$. Pociąg jechał z prędkością $v+5$, zatem

$4v+6(v+5)=680.$

Stąd $10v=650$, więc $v=65$, a prędkość pociągu wynosiła $70\ \mathrm{km/h}$.

Niech długości odcinków będą równe $x$ i $y$. Na drugim odcinku prędkość wynosiła $40\ \mathrm{km/h}$. Otrzymujemy

$x+y=96,qquad \frac{x}{80}+\frac{y}{40}=1{,}6.$

Po pomnożeniu drugiego równania przez $80$ mamy $x+2y=128$. Stąd $y=32$ i $x=64$.

Od 13.00 do 15.50 upłynęło $170$ minut. Po odjęciu postoju czas jazdy wynosił $150$ minut, czyli $2{,}5$ godziny. Jeśli czasy obu części to $t_1,t_2$, mamy

$t_1+t_2=2{,}5,qquad 75t_1+66t_2=180.$

Po podstawieniu $t_2=2{,}5-t_1$ otrzymujemy $9t_1=15$, więc $t_1=\frac53$ godziny, a $t_2=\frac56$ godziny.

Niech $x$ i $y$ oznaczają masy roztworów $6\%$ i $10\%$. Bilans masy oraz azotanu potasu ma postać

$x+y=10,qquad 0{,}06x+0{,}10y=0{,}09\cdot10.$

Po odjęciu $0{,}06(x+y)=0{,}6$ dostajemy $0{,}04y=0{,}3$, czyli $y=7{,}5$ i $x=2{,}5$.