MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 132

Niech $p$ i $a$ oznaczają wczorajsze ceny paska i apaszki. Mamy

$p+a=50,qquad 1{,}1p+0{,}9a=49{,}50.$

Po podstawieniu $a=50-p$ drugie równanie ma postać $1{,}1p+45-0{,}9p=49{,}5$, zatem $0{,}2p=4{,}5$ i $p=22{,}5$. Wtedy $a=27{,}5$.

Niech lokówka kosztuje $l$ zł, więc suszarka kosztuje $l+5$ zł. Po zmianach cen cena suszarki miałaby być równa $80\%$ podwyższonej ceny lokówki:

$0{,}8(l+5)=0{,}8\cdot1{,}04l.$

Po podzieleniu przez $0{,}8$ mamy $l+5=1{,}04l$, czyli $0{,}04l=5$. Stąd $l=125$, a cena suszarki wynosi $130$ zł.

Niech większa liczba będzie równa $y$. Mniejsza ma wtedy wartość $0{,}8y$. Po zwiększeniu obu liczb o $5$ zachodzi

$0{,}8y+5=0{,}82(y+5).$

Stąd $0{,}02y=0{,}9$, więc $y=45$, a mniejsza liczba to $36$.

Niech szukana liczba będzie równa $n=10a+b$, gdzie $a+b=12$. Po zwiększeniu cyfr otrzymujemy liczbę

$10(a+2)+(b+1)=n+21.$

Ma ona być równa $1{,}28n$, zatem $21=0{,}28n$ i $n=75$. Jej cyfry rzeczywiście sumują się do $12$.

Z warunku $x=y-30$ oraz zależności procentowej otrzymujemy

$0{,}6y=0{,}5x+25=0{,}5(y-30)+25.$

Po uproszczeniu $0{,}1y=10$, więc $y=100$, a $x=70$.

a) Jeśli $x$ oznacza masę roztworu $4\%$ w gramach, to masa roztworu $7\%$ wynosi $1000-x$. Bilans soli ma postać

$0{,}04x+0{,}07(1000-x)=0{,}052\cdot1000.$

b) Jeśli $x,y$ oznaczają odpowiednio masy roztworów $4\%$ i $7\%$, to trzeba jednocześnie zbilansować całą masę i masę soli:

Masy podano w kilogramach, dlatego $250$ g to $0{,}25$ kg. Bilans masy całego roztworu i zawartej w nim soli daje

Gdyby cała trasa była leśna, przejazd $20$ km trwałby $2$ godziny. Zastąpienie $1$ km drogi leśnej kilometrem asfaltu skraca czas o $\frac1{10}-\frac1{30}=\frac1{15}$ godziny. Aby skrócić czas o godzinę, trzeba więc przejechać $15$ km asfaltem. Pozostałe $5$ km przypada na drogę leśną, zatem dłuższy był odcinek asfaltowy.

Niech wszystkich przesyłek będzie $n$. Paczek było $0{,}6n$. Po doręczeniu czterech listów pozostało $n-4$ przesyłek, zatem

$0{,}6n=0{,}75(n-4).$

Po uproszczeniu $0{,}15n=3$, więc $n=20$. Paczek było $0{,}6\cdot20=12$.