MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 131

Niech boki początkowej kartki mają długości $a>b$. Z obwodu mamy $a+b=80$. Wycięty prostokąt ma boki $a-12$ i $b-8$, zatem

$ab-(a-12)(b-8)=672.$

Po uproszczeniu $2a+3b=192$. Odejmując $2a+2b=160$, dostajemy $b=32$ i $a=48$. Pole kartki wynosi więc $48\cdot32=1536\ \mathrm{cm}^2$.

Oznaczmy długości krawędzi przez $a,b,c$. Połowy obwodów trzech ścian dają

$a+b=17,\qquad a+c=8{,}5,\qquad b+c=13{,}5.$

Stąd

$a=\frac{17+8{,}5-13{,}5}{2}=6,quad b=11,quad c=2{,}5.$

Objętość jest równa $abc=6\cdot11\cdot2{,}5=165\ \mathrm{cm}^3$.

Niech $o,c,w$ oznaczają ceny porcji lodów owocowych, czekoladowych i waniliowych. Z treści

$2o=c+w,qquad o+2w=2c.$

Po podstawieniu $c=2o-w$ do drugiego równania otrzymujemy $4w=3o$, czyli $w=\frac34o$ i $c=\frac54o$. Największa jest zatem cena lodów czekoladowych.

Jeśli drugi bok ma długość $b$, a przeciwprostokątna $c$, to

$c^2-b^2=9^2,qquad (c-b)(c+b)=81.$

Dodatnie pary nieparzystych dzielników $81$, które dają $b>0$, to $(1,81)$ i $(3,27)$. Odpowiadają im

$c=41, b=40\qquad\text{oraz}\qquad c=15, b=12.$

Obie pary rzeczywiście spełniają twierdzenie Pitagorasa.

Niech początkowo planowany kwadrat ma bok $n$, a liczba krzeseł będzie równa $K$. Wtedy

$n^2=K+26,qquad (n-1)^2=K-5.$

Po odjęciu równań dostajemy $2n-1=31$, więc $n=16$. Zatem $K=16^2-26=230$.

Łączny wiek wszystkich uczestników wynosił $25\cdot63=1575$ lat. Po wyjściu najstarszego uczestnika pozostały $24$ osoby o średniej $62$ lata, czyli o łącznym wieku $24\cdot62=1488$ lat. Różnica $1575-1488=87$ jest wiekiem najstarszego uczestnika.

Cofamy kolejno przesypywanie. Przed oddaniem $\frac1{10}$ zawartości trzeci pojemnik miał $0{,}9:\frac9{10}=1$ kg. Do pierwszego trafiło więc $0{,}1$ kg, zatem po pierwszym przesypaniu było w nim $0{,}8$ kg. Jest to $\frac23$ początkowej ilości, więc pierwszy pojemnik zawierał $1{,}2$ kg.

Przed oddaniem $\frac14$ zawartości drugi pojemnik miał $0{,}9:\frac34=1{,}2$ kg. Otrzymał wcześniej $\frac13\cdot1{,}2=0{,}4$ kg, więc początkowo miał $0{,}8$ kg. Trzeci pojemnik dostał z niego $0{,}3$ kg, stąd początkowo zawierał $1-0{,}3=0{,}7$ kg.

Niech ceny zeszytu, długopisu i gumki będą równe odpowiednio $z,d,g$. Dane dają