MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 130

Niech Krysia kupi $j$ jabłek i $b$ bananów. Po pomnożeniu cen przez $10$ oba rachunki dają

$6j+9b=36,$ $9j+6b=39.$

Pierwsze równanie dzielimy przez $3$, a następnie eliminujemy $b$:

$2j+3b=12,\qquad 9j+6b=39.$

Stąd $5j=15$, więc $j=3$, a $b=2$.

Niech $x$ kartek będzie zapisanych jednostronnie, a $y$ dwustronnie. W groszach:

$x+y=30,$ $7x+12y=280.$

Po podstawieniu $x=30-y$ otrzymujemy $5y=70$, więc $y=14$, $x=16$. Zapisanych stron jest

$x+2y=16+28=44.$

Przy cenie $7$ gr za każdą osobną kartkę koszt wyniósłby $44\cdot7=308$ gr.

Niech $p$ oznacza liczbę poprawnych odpowiedzi. Pozostałych odpowiedzi jest $26-p$. Bilans punktów:

$2p-(26-p)=37.$

Stąd $3p=63$, więc $p=21$.

Ze skanu odczytujemy, że od $-4$ do $x$ jest siedem równych odcinków, a od $-4$ do $y$ jedenaście. Niech jeden odcinek odpowiada liczbie $d$. Wtedy

$x=-4+7d,\qquad y=-4+11d.$

Warunek $x+y=7$ daje

$-8+18d=7,$

więc $d=\frac56$. Zatem $x=\frac{11}{6}$, $y=\frac{31}{6}$ i

$xy=\frac{11}{6}\cdot\frac{31}{6}=\frac{341}{36}=9\frac{17}{36}.$

Pole kwadratu wynosi $324\ \text{cm}^2$, więc jego bok ma długość $18$ cm. Z układu płytek na skanie widać, że bok kwadratu mieści dziewięć krótszych boków płytki albo sześć dłuższych boków płytki.

Zatem wymiary płytki to

$\frac{18}{9}=2\ \text{cm},\qquad \frac{18}{6}=3\ \text{cm}.$

Jej obwód jest równy $2(2+3)=10$ cm.

Niech Beata ma obecnie $b$ lat, a Alina $a$ lat. Pierwszy warunek daje

$2(b-1)=a+9.$

Drugi warunek ma postać

$b+6=2(a-7).$

Po uproszczeniu $a=2b-11$ oraz $b=2a-20$. Rozwiązaniem jest $b=14$, $a=17$.

Niech wzrost Bolka i Lolka wynosi $b$ i $l$ centymetrów. Ze średniej mamy

$b+l=310.$

Ponieważ oba wzrosty leżą między $100$ a $200$, iloraz całkowity przy dzieleniu $b$ przez $l$ może wynosić tylko $1$; reszta $10$ daje $b=l+10$. Stąd

$2l+10=310,$

więc $l=150$, $b=160$.

Niech cyfry setek, dziesiątek i jedności będą równe $a,b,c$. Mamy

$a+b+c=12.$

Skreślenie cyfry setek daje

$100a+10b+c=26(10b+c),$

czyli $4a=10b+c$. Skreślenie cyfry jedności daje

$100a+10b+c-(10a+b)=562.$

Po użyciu $c=12-a-b$ ostatnie równanie ma postać $89a+8b=550$. Jedynymi cyframi spełniającymi warunki są $a=6$, $b=2$, $c=4$.