MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 129

Niech matka ma $m$ lat, a córka $c$ lat. Z warunków czasowych:

$m-2=5(c-2),$ $m+3=3(c+3).$

Pierwsze równanie daje $m=5c-8$, drugie $m=3c+6$. Stąd $c=7$, $m=27$.

Jeżeli wnuczka ma $w$ lat, to ma $12w$ miesięcy, a zatem babcia ma $12w$ lat. Razem:

$w+12w=65.$

Stąd $w=5$, a babcia ma $60$ lat.

Niech Szymek ma obecnie $s$ lat. Kuba miał $s$ lat przed $20-s$ laty. Szymek miał wtedy

$s-(20-s)=2s-20$

lat. Z treści $20$ jest dwukrotnością tej liczby:

$20=2(2s-20).$

Stąd $s=15$.

Niech obecnie Bolek ma $b$ lat, a Lolek $l$ lat. Gdy Bolek miał $l$ lat, Lolek miał $2l-b$ lat, więc

$l=3(2l-b),$

czyli $3b=5l$.

Gdy Lolek osiągnie obecny wiek Bolka, minie $b-l$ lat, a Bolek będzie miał $2b-l=21$. Rozwiązanie układu daje $b=15$, $l=9$.

Niech ramię ma długość $r$, a podstawa $p$. Początkowo

$2r+p=22.$

Po zmianach obwód wynosi $23$ cm:

$2(r+1)+0{,}9p=23,$

czyli $2r+0{,}9p=21$. Odjęcie równań daje $0{,}1p=1$, zatem $p=10$, a $r=6$.

Niech dłuższy bok ma długość $a$, a krótszy $b$. Zmniejszenie pola daje

$ab-(a-1)(b-3)=35,$

czyli $3a+b=38$. Zwiększenie pola daje

$(a+2)(b+1)-ab=28,$

czyli $a+2b=26$. Rozwiązanie układu to $a=10$, $b=8$.

Dla boków $a,b$ warunek zwiększenia pola ma postać

$(a+2)(b+2)-ab=24.$

Po uproszczeniu $2a+2b+4=24$, więc $a+b=10$. Zmniejszenie obu boków o $2$ zmniejsza pole o

$ab-(a-2)(b-2)=2a+2b-4=16\ \text{cm}^2.$

Niech boki prostokąta mają długości $a$ i $b$, przy czym środek $S$ boku $CD$ ma względem $A$ przesunięcie $\left(\frac a2,b\right)$. Z twierdzenia Pitagorasa:

$a^2+b^2=(4\sqrt5)^2=80,$ $\frac{a^2}{4}+b^2=(4\sqrt2)^2=32.$

Po odjęciu równań $\frac34a^2=48$, więc $a=8$, a następnie $b=4$.

Niech w drugiej misce będzie $x$ litrów, wtedy w pierwszej jest $5x$ litrów. Po przelaniu $8$ l ilości mają być równe:

$5x-8=x+8.$

Stąd $4x=16$, więc $x=4$, a $5x=20$.

Niech początkowo w skrzynkach będzie $a$ i $b$ jabłek. Mamy $a+b=60$. Po przełożeniu połowy zawartości drugiej skrzynki:

$a+\frac b2=4\cdot\frac b2=2b.$

Stąd $a=\frac32b$. Po podstawieniu do sumy $\frac52b=60$, więc $b=24$, $a=36$.

Niech $s$ oznacza liczbę dni słonecznych. Czerwiec ma $30$ dni, więc dni pochmurnych było $30-s$. Przyrost $11$ cm to $110$ mm:

$5s+(30-s)=110.$

Stąd $4s=80$, czyli $s=20$.