MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 12

Każda liczba naturalna ma jedną z postaci $3k$, $3k+1$, $3k+2$. Po podniesieniu do kwadratu otrzymujemy modulo $3$ odpowiednio $0^2\equiv0,\qquad1^2\equiv1,\qquad2^2\equiv1.$

Korzystamy z kongruencji $n\equiv1$, $k\equiv2$, $l\equiv3\pmod4$.

a) $2n\equiv2\cdot1\equiv2$.

b) $4k\equiv0$.

c) $7l\equiv3\cdot3=9\equiv1$.

d) $n+k+l\equiv1+2+3=6\equiv2$.

e) $nkl\equiv1\cdot2\cdot3=6\equiv2$.

Niech ilorazy z dzielenia szukanej liczby przez $5$ i $7$ będą odpowiednio $q$ i $r$. Z treści $N=5q+4=7r+3,\qquad q=r+1.$ Po podstawieniu otrzymujemy $5(r+1)+4=7r+3,$ czyli $r=3$, $q=4$ i $N=5\cdot4+4=24$.

Reszta modulo $6$ musi być jednocześnie nieparzysta, bo liczba daje resztę $1$ modulo $2$, oraz dawać resztę $2$ modulo $3$. Spośród reszt $0,1,2,3,4,5$ tylko $5$ spełnia oba warunki.

Zapiszmy $n=9k+6$. Modulo $6$ mamy $n\equiv3k$, zatem $n^2\equiv9k^2\equiv3k^2\pmod6.$ Jeżeli $k$ jest parzyste, reszta wynosi $0$. Jeżeli $k$ jest nieparzyste, $k^2$ jest nieparzyste i reszta wynosi $3$.

Sprawdzamy reszty $0,1,\ldots,11$ modulo $12$.

a) Reszty dające $1$ modulo $3$ to $1,4,7,10$, a dające $2$ modulo $4$ to $2,6,10$. Wspólna jest reszta $10$.

b) Reszty dające $2$ modulo $3$ to $2,5,8,11$, a dające $1$ modulo $4$ to $1,5,9$. Wspólna jest reszta $5$.

Warunki powtarzają się z okresem równym NWW danych dzielników.

a) Wśród reszt modulo $6$ jedyną resztą nieparzystą i równą $2$ modulo $3$ jest $5$. Otrzymujemy $6t+5$.

b) Wśród reszt modulo $15$ warunki $r\equiv2\pmod3$ oraz $r\equiv4\pmod5$ spełnia $r=14$. Otrzymujemy $15t+14$.

Każda liczba ze zbioru $D$ zawiera dokładnie raz cyfry od $1$ do $9$. Suma jej cyfr wynosi $45$, więc każda taka liczba jest podzielna przez $9$.

W zbiorze są na przykład liczby $123\,456\,789$ i $123\,456\,798$. Ich różnica wynosi $9$, zatem każdy wspólny dzielnik wszystkich liczb ze zbioru musi dzielić $9$. Skoro $9$ dzieli każdą liczbę, jest ich największym wspólnym dzielnikiem.

Z równości $13m=12n$ i względnej pierwszości liczb $12$ i $13$ wynika, że $12\mid m$ oraz $13\mid n$. Istnieje więc liczba naturalna $k$ taka, że $m=12k,\qquad n=13k.$ Ponieważ $m$ i $n$ są różne, $k\geq1$. Zatem $m+n=25k=5\cdot(5k).$ Oba czynniki są większe od $1$, więc suma jest złożona.

a) Jeśli $p$ jest nieparzystą liczbą pierwszą, to $5p+1$ jest parzyste i większe od $2$, więc nie jest pierwsze. Dla $p=2$ otrzymujemy $5p+1=11$, liczbę pierwszą.

b) Dla $p\ne3$ zachodzi $p^2\equiv1\pmod3$, więc $p^2+2$ jest podzielne przez $3$ i większe od $3$. Dla $p=3$ otrzymujemy $p^2+2=11$.

c) Dla nieparzystego $p$ liczba $3p^2+1$ jest parzysta i większa od $2$. Dla $p=2$ otrzymujemy $3p^2+1=13$.