MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 126

Dodajemy stronami dwa pierwsze równania. Otrzymujemy

$3x+5y+2z=8.$

Lewa strona jest identyczna z lewą stroną trzeciego równania, które wymaga jednak

$3x+5y+2z=7.$

Ta sama liczba nie może być jednocześnie równa $8$ i $7$, więc układ jest sprzeczny.

a) Z trzeciego równania $z=-2$. Pozostałe równania przyjmują postać

$x+3y=3,\qquad 2x+y=6,$

stąd $x=3$, $y=0$.

b) Dodanie trzech równań daje $2(x+y+z)=36$, czyli $x+y+z=18$. Odejmując odpowiednie sumy par, otrzymujemy $x=0$, $y=8$, $z=10$.

c) Z drugiego równania $y=6-2z$, a z trzeciego $x=8-3z$. Po podstawieniu do pierwszego dostajemy $36-15z=6$, więc $z=2$, a następnie $x=y=2$.

Przyjmijmy

$s=\frac1{x+1},\qquad t=\frac{y-2}{y-1}.$

Ponieważ $\frac{2-y}{y-1}=-t$, układ ma postać

$5s-t=\frac72,\qquad 6s+t=2.$

Po dodaniu równań $11s=\frac{11}{2}$, więc $s=\frac12$ i $x=1$. Dalej $t=-1$, zatem

$\frac{y-2}{y-1}=-1,$

co daje $y=\frac32$. Warunki $x\ne-1$, $y\ne1$ są spełnione.

Dodanie równań usuwa $x$:

$-2y=6k-4,$

więc $y=2-3k$. Z drugiego równania otrzymujemy $x=-k$.

a) Obie liczby są dodatnie, gdy $-k>0$ i $2-3k>0$, czyli $k<0$.

b) Obie są ujemne, gdy $k>0$ i $k>\frac23$, zatem $k>\frac23$.

c) Mają ten sam znak dokładnie w sumie dwóch poprzednich przypadków.

Punkt wspólny musi mieć te same współrzędne w obu opisach, więc

$a+2=4b+5,\qquad 2a-9=b+4.$

Z drugiego równania $b=2a-13$. Po podstawieniu do pierwszego:

$a+2=4(2a-13)+5,$

stąd $a=7$ i $b=1$. Współrzędne punktu wynoszą wtedy $(9,5)$.

Odejmujemy pierwsze równanie od drugiego:

$(m^2-1)x=1-m.$

Dla $m\notin\{-1,1\}$ współczynnik przy $x$ jest niezerowy, więc układ ma jedno rozwiązanie.

Dla $m=1$ oba równania są identyczne: $x+2y=1$, zatem rozwiązań jest nieskończenie wiele.

Dla $m=-1$ lewe strony obu równań są identyczne, lecz prawe wynoszą odpowiednio $-1$ i $1$, więc rozwiązań nie ma.

a) Z pierwszego równania $y=x+2$. Dla $x\ge-2$ drugie równanie ma postać $2x+2=2$, więc $x=0$, $y=2$. Przypadek $x<-2$ prowadzi do sprzeczności.

b) Gdy $x-y=1$, mamy $y=x-1$ i z $2x+y=5$ otrzymujemy $(2,1)$. Gdy $x-y=-1$, mamy $y=x+1$, więc $(x,y)=\left(\frac43,\frac73\right)$.

c) Niech $u=|x|$. Z drugiego równania $y=2u-3$. Po podstawieniu do pierwszego $11u=11$, zatem $u=1$, $y=-1$ i $x=\pm1$.

a) Oznaczmy $u=|x|\ge0$. Z układu wynika $u=\frac{10-a}{5}$. Dla $u>0$ są dwa znaki $x$, dla $u<0$ nie ma rozwiązań, a dokładnie jedno rozwiązanie występuje przy $u=0$. Stąd $a=10$, $x=0$, $y=5$.

b) Dla $v=|y|\ge0$ otrzymujemy $v=\frac{12-a}{3}$. Dokładnie jedno rozwiązanie zachodzi przy $v=0$, czyli $a=12$, $x=6$, $y=0$.

c) Z $y=2+|x|$ oraz $x+y=a$ mamy $x+|x|+2=a$. Dla $a>2$ istnieje dokładnie jedno dodatnie $x=\frac{a-2}{2}$. Dla $a=2$ rozwiązań jest nieskończenie wiele, a dla $a<2$ nie ma ich.

Niech $u=|x|\ge0$. Jeżeli $y<0$, to układ ma postać

$u-y=2,\qquad u+y=a,$

więc $u=\frac{a+2}{2}$ i $y=\frac{a-2}{2}$. Dla $-2<a<2$ mamy $u>0$, co daje dwa znaki $x$; dla $a=-2$ mamy jedno rozwiązanie $x=0$, $y=-2$.

Jeżeli $y\ge0$, oba równania mają tę samą lewą stronę $u+y$. Są zgodne tylko dla $a=2$ i wtedy odcinek $u+y=2$ daje nieskończenie wiele rozwiązań. Poza opisanymi wartościami rozwiązań nie ma.