MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 125

Oznaczmy $A=x+y$ i $B=x+z$. Pierwsze równanie daje $A+B=8$. Drugie można zapisać jako $2B-A=7$. Stąd $3B=15$, więc $B=5$, a $A=3$. Ponadto

$y-z=(x+y)-(x+z)=A-B=-2.$

Dodajemy cztery równania. Każda niewiadoma występuje trzy razy, więc

$3(x+y+z+v)=30,$

czyli $x+y+z+v=10$. Każdą niewiadomą otrzymujemy, odejmując od tej sumy równanie bez niej:

$x=10-2=8,\quad y=10-14=-4,$ $z=10-10=0,\quad v=10-4=6.$

a) Dodanie równań daje

$1000x+1000y=999,$

więc $x+y=\frac{999}{1000}=0{,}999$.

b) Odejmujemy drugie równanie od pierwszego:

$648x-256y=9.$

Po podzieleniu przez $8$ otrzymujemy $81x-32y=\frac98=1\frac18$.

Dodanie równań usuwa składniki z $\sqrt5$:

$(x+y)(\sqrt6+\sqrt7)=2\sqrt8=4\sqrt2.$

Zatem

=4\sqrt2(\sqrt7-\sqrt6) =4\sqrt{14}-8\sqrt3.$$

Układ ma nieskończenie wiele rozwiązań wtedy i tylko wtedy, gdy pierwsze równanie jest trzykrotnością drugiego. Po pomnożeniu $5x+3y=4$ przez $3$ otrzymujemy

$15x+9y=12.$

Porównanie współczynników daje $a=15$.

a) Po wstawieniu $x=2$, $y=-1$ dostajemy

$2a-b=14,\qquad 2a+b=22.$

Dodanie równań daje $a=9$, a następnie $b=4$.

b) Dla $x=-1$, $y=-2$ otrzymujemy

$-a-2b=1,\qquad -a+2b=-11.$

Po odjęciu równań $4b=-12$, więc $b=-3$ i $a=5$.

Dodajemy równania:

$2x^2=50,$

więc $x^2=25$ i $x=\pm5$. Z drugiego równania $y^2=34-25=9$, zatem $y=\pm3$. Znaki można wybrać niezależnie.

Porównanie kolejnych wyrażeń daje

$x+2y=0,$ $x-y+z=-7,$ $-x+y+4z=2.$

Z pierwszego równania $x=-2y$, a z drugiego $z=3y-7$. Po podstawieniu do trzeciego:

$2y+y+4(3y-7)=2,$

więc $y=2$, $x=-4$ i $z=-1$.