MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 124

Po usunięciu nawiasów i mianowników otrzymujemy:

a) $y=-3$ oraz $8x-y=3$, więc $(x,y)=(0,-3)$.

b) $x+y=0$ oraz $x=2(x+y+1)$, więc $(x,y)=(2,-2)$.

c) $3x+2y=-5$ oraz $x+y=-4$. Odejmowanie daje $x=3$, a stąd $y=-7$.

d) Równania upraszczają się do $x-7y=-5$ i $2x-y=3$. Eliminacja daje $y=1$, $x=2$.

Wyznacznik macierzy współczynników wynosi

$15a-(-12)(-3)=15a-36.$

Jest niezerowy dla $a\ne\frac{12}{5}=2{,}4$, więc wtedy układ jest oznaczony. Dla $a=2{,}4$ współczynniki drugiego równania są równe $-\frac15$ współczynników pierwszego, lecz prawa strona powinna wtedy wynosić $-2$, a wynosi $5$. Układ jest więc sprzeczny.

a) Pierwsze równanie ma postać $x+10y=11$, a drugie $-7x+8y=1$. Wyznacznik jest niezerowy, więc układ jest oznaczony.

b) Po uproszczeniu otrzymujemy jednocześnie $2x-6y=11$ i $2x-6y=13$. Układ jest sprzeczny.

c) Oba równania upraszczają się do $x-y=-10$. Układ jest nieoznaczony.

d) Po usunięciu przecinków mamy $5x-3y=50$ oraz $5x+3y=50$. Wyznacznik jest niezerowy, więc układ jest oznaczony.

a) Dodanie trzech równań daje $2(x+y+z)=9$, czyli $x+y+z=\frac92$. Odejmując kolejno znane sumy par, dostajemy $x=\frac12$, $y=\frac32$, $z=\frac52$.

b) Z $x+y=0$ i $x+y+z=10$ mamy $z=10$. Następnie $y+z=0$ daje $y=-10$, a więc $x=10$.

Z pierwszego równania $b=2a+2c$, a z drugiego $b=3a-3c$. Stąd

$2a+2c=3a-3c,$

czyli $a=5c$. Wtedy $b=12c$. Ponieważ $c>0$, mamy $c<5c<12c$.

a) Różnice kwadratów upraszczają układ do $y=3x$ oraz $y=2x$. Stąd $x=0$ i $y=0$.

b) Po rozwinięciu otrzymujemy

$2x+3y=4,\qquad x+2y=2.$

Eliminacja daje $y=0$, a następnie $x=2$.

Układ ma postać

$3x+y=-5,\qquad x-2y=-4.$

Po pomnożeniu pierwszego równania przez $2$ i dodaniu drugiego otrzymujemy $7x=-14$, więc $x=-2$, $y=1$. Zatem

$2x+3y=-4+3=-1.$

Korzystamy z $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$. Oba czynniki są dodatnie, nieparzyste i mają iloczyn równy podanej liczbie.

a) Dla $33$ pary czynników to $(1,33)$ i $(3,11)$. Z układu $x-y=p$, $x+y=q$ otrzymujemy $(17,16)$ oraz $(7,4)$.

b) Dla $45$ pary to $(1,45)$, $(3,15)$ i $(5,9)$. Dają kolejno $(23,22)$, $(9,6)$ i $(7,2)$.

Kwadrat liczby całkowitej daje resztę $0$ albo $1$ przy dzieleniu przez $4$. Różnica dwóch kwadratów może więc dać modulo $4$ tylko resztę $0$, $1$ albo $3$. Tymczasem

$38\equiv2\pmod4.$

Równość $x^2-y^2=38$ jest zatem niemożliwa dla liczb całkowitych.