MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 123

a) Drugie równanie mnożymy przez $-3$ i dodajemy stronami do pierwszego. Otrzymujemy $-8x=-16$, więc $x=2$, a następnie $y=1$.

b) Pierwsze równanie mnożymy przez $2$ i porównujemy z równaniem $5x-6y=8$. Odejmowanie daje $x=-2$, a stąd $y=-3$.

c) Drugie równanie pomnożone przez $-2$ ma postać $-4x+6y=7$, identyczną z pierwszym. Układ jest nieoznaczony, a jego rozwiązania spełniają $y=\frac23x+\frac76$.

a) Po pomnożeniu pierwszego równania przez $7$, a drugiego przez $-6$, dodawanie daje $89x=89$. Zatem $x=1$, $y=-1$.

b) Usuwamy przecinki, otrzymując $5x-6y=7$ oraz $4x+13y=59$. Eliminacja daje $89y=267$, więc $y=3$ i $x=5$.

c) Drugie równanie jest pierwszym pomnożonym przez $\frac52$. Układ jest nieoznaczony i ma rozwiązania $y=\frac12x-\frac14$.

Równanie II pomnożone przez $2$ jest równaniem I, więc para I–II daje układ nieoznaczony. Równania I i III mają identyczne lewe strony oraz różne prawe, więc tworzą układ sprzeczny. Współczynniki równań I i IV nie są proporcjonalne, zatem ich układ jest oznaczony.

a) Wyznacznik współczynników wynosi $5\cdot(-4)-2\cdot10=-40\ne0$, więc układ jest oznaczony.

b) Drugie równanie jest pierwszym pomnożonym przez $-2$, także po prawej stronie. Układ jest nieoznaczony.

c) Lewa strona pierwszego równania jest trzykrotnością lewej strony drugiego, lecz $7\ne3\cdot2$. Układ jest sprzeczny.

Wystarczy dobrać drugie równanie odpowiednio nieproporcjonalne, identyczne albo równoległe do pierwszego.

a) Dla $(a,b,c)=(1,0,0)$ równanie $x=0$ przecina prostą $2x+3y=4$ w jednym punkcie.

b) Dla $(a,b,c)=(4,6,8)$ drugie równanie jest dwukrotnością pierwszego.

c) Dla $(a,b,c)=(4,6,9)$ lewe strony są proporcjonalne, lecz prawe nie.

Po rozwinięciu pierwszego równania:

$5x-10=x+y-1,$

czyli $4x-y=9$. Jest to dokładnie drugie równanie, więc układ jest nieoznaczony.

Wszystkie rozwiązania spełniają $y=4x-9$. Dla $x=0,1,2,3,4$ otrzymujemy pięć różnych par.