MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 122

a) Wyznacznik układu to $12-3a$. Dla $a\ne4$ jest niezerowy, więc rozwiązanie jest jedno. Dla $a=4$ pierwsze równanie jest drugim pomnożonym przez $2$, zatem rozwiązań jest nieskończenie wiele.

b) Wyznacznik wynosi $3(a+6)$. Dla $a\ne-6$ rozwiązanie jest jedno. Dla $a=-6$ lewe strony są proporcjonalne, lecz prawe nie, więc rozwiązań nie ma.

c) Wyznacznik wynosi $4-a^2$. Dla $a\notin\{-2,2\}$ rozwiązanie jest jedno. Przy $a=2$ równania są identyczne, więc rozwiązań jest nieskończenie wiele. Przy $a=-2$ lewe strony są przeciwne, a prawe nie, więc rozwiązań nie ma.

Drugie równanie układu po pomnożeniu przez $12$ ma postać $3x+2y=12$. Rozwiązujemy

$$\begin{cases} 2x+3y=-12,\\ 3x+2y=12, \end{cases}$$

otrzymując $x=12$ i $y=-12$. Warunek $kx-y=5$ daje

$12k+12=5,$

czyli $k=-\frac7{12}$.

Z układu

$x-y=k,\qquad x+y=4$

otrzymujemy $x=\frac{4+k}{2}$ i $y=\frac{4-k}{2}$. Podstawiamy je do $2x-y=2$:

$4+k-\frac{4-k}{2}=2,$

stąd $3k=0$.

Podstawienie obu podanych par do równania daje układ dla współczynników:

$$\begin{cases} a+b=9,\\ 5a-4b=9. \end{cases}$$

Z pierwszego równania $b=9-a$. W drugim:

$5a-4(9-a)=9,$

więc $9a=45$, $a=5$ i $b=4$.

Rozwiązanie układu zależne od $k$ ma postać

$x=\frac{2k}{3},\qquad y=\frac{k}{3}.$

Punkt należy do kwadratu wraz z jego brzegiem, gdy $0\le x\le4$ oraz $0\le y\le4$. Pierwszy warunek daje $0\le k\le6$, a drugi $0\le k\le12$. Ich częścią wspólną jest $[0,6]$.

Rozwiązując układ, otrzymujemy

$x=\frac{k-1}{2},\qquad y=-\frac{k+1}{2}.$

a) Warunki $x<0$ i $y<0$ oznaczają odpowiednio $k<1$ i $k>-1$, zatem $-1<k<1$.

b) Warunki $x<0$ i $y>0$ dają $k<1$ oraz $k<-1$, czyli $k<-1$.

c) Z $|x|\le1$ mamy $-1\le k\le3$, a z $|y|\le1$ mamy $-3\le k\le1$. Część wspólna to $[-1,1]$.