MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 121

Z równości trzech wyrażeń bierzemy dwa równania:

$$\begin{cases} 6x-3y+2=4x+y+28,\\ 4x+y+28=-x-5y+13. \end{cases}$$

Po uproszczeniu otrzymujemy

$$\begin{cases} x-2y=13,\\ 5x+6y=-15. \end{cases}$$

Z pierwszego równania $x=13+2y$. Po podstawieniu do drugiego:

$5(13+2y)+6y=-15,$ $16y=-80,$ $y=-5,\qquad x=3.$

a) Po rozwinięciu iloczynów składniki $xy$ redukują się:

$$\begin{cases} y=x+2,\\ x+2y=10. \end{cases}$$

Stąd $x+2(x+2)=10$, więc $x=2$ i $y=4$.

b) Oba równania po uproszczeniu mają tę samą postać:

$x-2y=7.$

Układ jest zatem nieoznaczony. Przyjmując $y=t$, otrzymujemy $x=2t+7$.

a) Z drugiego równania $x=5\sqrt3-2y$. Po podstawieniu:

$-2(5\sqrt3-2y)+7y=12\sqrt3,$ $11y=22\sqrt3,$ $y=2\sqrt3,\qquad x=\sqrt3.$

b) Z pierwszego równania

$x=\sqrt2y+\sqrt2+1.$

Podstawiamy do drugiego:

$(\sqrt6+1)y+\sqrt6+\sqrt3=\sqrt3-1,$

zatem $y=-1$, a następnie $x=1$.

Oznaczmy $X=x^2$ i $Y=y^2$. Układ przyjmuje postać

$$\begin{cases} X+3Y=21,\\ 3X-2Y=19. \end{cases}$$

Z pierwszego równania $X=21-3Y$. W drugim dostajemy

$3(21-3Y)-2Y=19,$

więc $Y=4$ i $X=9$. Zatem $y=\pm2$ oraz $x=\pm3$, niezależnie od wyboru znaków.

W obu podpunktach podstawiamy $s=\frac1x$ i $t=\frac1y$.

a) Otrzymujemy

$$\begin{cases} 3s+2t=4,\\ 4s-2t=3. \end{cases}$$

Po dodaniu równań $7s=7$, więc $s=1$, a $t=\frac12$. Stąd $x=1$, $y=2$.

b) Teraz

$$\begin{cases} 4s-6t=-1,\\ 5s-4t=4. \end{cases}$$

Rozwiązaniem jest $s=2$, $t=\frac32$, zatem $x=\frac12$, $y=\frac23$.

a) Niech $s=\frac1{x+y}$ i $t=\frac1{x-y}$. Układ

$s-3t=2,\qquad s-6t=3$

daje $s=1$, $t=-\frac13$. Zatem $x+y=1$, $x-y=-3$, więc $(x,y)=(-1,2)$.

b) To samo podstawienie daje

$3s+2t=3,\qquad 6s-3t=-1.$

Stąd $s=\frac13$, $t=1$, czyli $x+y=3$, $x-y=1$ i $(x,y)=(2,1)$.

c) Przyjmijmy $s=\frac1{5x-y}$ oraz $t=\frac1{x+4y}$. Z układu

$2s-3t=\frac23,\qquad 6s+t=\frac13$

otrzymujemy $s=\frac1{12}$ i $t=-\frac16$. Stąd

$5x-y=12,\qquad x+4y=-6,$

co daje $(x,y)=(2,-2)$. Wszystkie mianowniki są niezerowe.

Liczby $x-2y$ i $2x+y$ są całkowite, a ich iloczyn wynosi $7$. Rozpatrujemy więc pary dzielników

$(1,7),\ (7,1),\ (-1,-7),\ (-7,-1).$

Jeżeli $x-2y=p$ i $2x+y=q$, to

$x=\frac{p+2q}{5},\qquad y=\frac{q-2p}{5}.$

Wartości całkowite otrzymujemy tylko dla $(p,q)=(1,7)$ oraz $(-1,-7)$, co daje odpowiednio $(3,1)$ i $(-3,-1)$.

a) Po pomnożeniu pierwszego równania przez $4$ jego współczynniki wynoszą $(4,-4)$. Sprzeczność wymagałaby $m^2=-4$, co nie zachodzi dla żadnego rzeczywistego $m$. Układ jest zawsze oznaczony.

b) Aby równania były równoważne, mnożymy drugie przez $2$:

$10mx+2y=-6.$

Porównanie z $(m-1)x+2y=-6$ daje $m-1=10m$, czyli $m=-\frac19$. Dla tej wartości także prawe strony są identyczne.

Badamy wyznaczniki macierzy współczynników oraz zgodność równań w przypadkach zerowego wyznacznika.

a) Wyznacznik wynosi $3m-2$. Dla $m\ne\frac23$ układ ma jedno rozwiązanie. Dla $m=\frac23$ pierwsze równanie pomnożone przez $3$ ma lewą stronę $2x+3y$, lecz prawą $12$, podczas gdy drugie ma prawą $-1$; układ jest sprzeczny.

b) Wyznacznik wynosi $m+10$. Dla $m\ne-10$ rozwiązanie jest jedno. Dla $m=-10$ pierwsze równanie jest drugim pomnożonym przez $\frac52$, więc rozwiązań jest nieskończenie wiele.

c) Wyznacznik ma wartość $-(m^2+8)$, a więc nigdy nie jest zerem dla rzeczywistego $m$.