MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 120

Oznaczmy brakujący współczynnik przez $a$. Po pomnożeniu drugiego równania przez $-4$ otrzymujemy

$-4ax+6y=24.$

Dla $a=2$ jest to dokładnie pierwsze równanie, więc układ jest nieoznaczony. Dla $a\ne2$ współczynniki nie są proporcjonalne i układ ma jedno rozwiązanie. Nie można uzyskać układu sprzecznego: jedyna wartość dająca równoległe lewe strony daje zarazem identyczne równania.

Dla każdego równania podajemy kolejno przykład drugiego równania przecinającego daną prostą, równoważnego z nią oraz opisującego prostą równoległą i różną.

I. Oznaczony: $x=0$; nieoznaczony: $6x-4y=8$; sprzeczny: $6x-4y=7$.

II. Oznaczony: $y=0$; nieoznaczony: $2x+4y=-8$; sprzeczny: $2x+4y=1$.

III. Najpierw zapisujemy $7x-3y=-4$. Oznaczony: $x=0$; nieoznaczony: $14x-6y=-8$; sprzeczny: $14x-6y=0$.

IV. Oznaczony: $x=0$; nieoznaczony: $2y=6$; sprzeczny: $y=4$.

Podwajamy pierwsze równanie:

$4x-6y=10.$

Dla $a=4$ drugie równanie jest identyczne, więc układ ma nieskończenie wiele rozwiązań. Dla $a\ne4$ współczynniki przy $x$ są różne przy tym samym współczynniku przy $y$, zatem proste przecinają się w jednym punkcie.

Aby układ miał nieskończenie wiele rozwiązań, drugie równanie musi być pierwszym pomnożonym przez $\frac13$:

$3x-\frac43y=4.$

Stąd $a=\frac43$ i $b=4$. Ich suma wynosi

$a+b=\frac43+4=\frac{16}{3}=5\frac13.$

Suma kwadratów liczb rzeczywistych jest równa zeru tylko wtedy, gdy każdy kwadrat jest równy zeru.

a) $x+3=0$, $y-4=0$, więc $(-3,4)$.

b) $4x^2-12x+9=(2x-3)^2$, więc $2x-3=0$, $y+1=0$ i $(\frac32,-1)$.

c) Rozwiązujemy $x+4y=0$, $x-2y-3=0$, otrzymując $(2,-\frac12)$.

d) Z $x-y+1=0$ i $x+2y-14=0$ otrzymujemy $(4,5)$.

Sprowadzamy lewe strony do sum kwadratów.

a)

$x^2+y^2-4x+2y+5=(x-2)^2+(y+1)^2.$

Oba kwadraty znikają tylko dla $(x,y)=(2,-1)$.

b)

$x^2+2y^2-2y+2xy+1=(x+y)^2+(y-1)^2.$

Stąd $y=1$ oraz $x+y=0$, czyli $(x,y)=(-1,1)$.

Suma dwóch wartości bezwzględnych jest zerem tylko wtedy, gdy oba wyrażenia są zerami:

$$\begin{cases} 2x-y-3=0,\\ x+2y-4=0. \end{cases}$$

Z pierwszego $y=2x-3$. Podstawienie do drugiego daje $5x=10$, więc $x=2$, $y=1$.

a) Iloczyn jest zerem, gdy zeruje się jeden z czynników. Z $x+2y+1=0$ i $x+y=3$ otrzymujemy $(7,-4)$, a z $2x+y-1=0$ i $x+y=3$ — $(-2,5)$.

b) Pierwsze równanie ma postać $(x+y)^2=4$, więc $x+y=2$ albo $x+y=-2$. Razem z $x-2y=1$ daje to $(\frac53,\frac13)$ lub $(-1,-1)$.

c) Odejmujemy równania: $2y=-4$, więc $y=-2$. Wtedy $x^2=9$, czyli $x=\pm3$.

d) Dodanie równań daje $2x^2=72$, a odjęcie $2y^2=32$. Zatem $x=\pm6$ i niezależnie $y=\pm4$.