MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 119

a) Pierwszy układ sprowadza się do $y=x+3$ i $3x-y=-2$, więc ma rozwiązanie $(\frac12,\frac72)$. Drugi zawiera te same zależności: $3x-y=-2$ oraz $x=\frac12$. Układy są równoważne.

b) W pierwszym układzie podwojenie równania $3x-y=5$ dawałoby prawą stronę $10$, a drugie równanie ma prawą stronę $3$; układ jest sprzeczny. W drugim układzie pomnożenie pierwszego równania przez $-2$ dawałoby prawą stronę $-2$, a nie $3$; ten układ także jest sprzeczny. Oba mają pusty zbiór rozwiązań, więc są równoważne.

Pierwszy układ zapisujemy jako

$\begin{cases}x+y=4\\2x-y=2.\end{cases}$

Jego rozwiązaniem jest $(2,2)$. Aby drugi układ był równoważny, para ta musi spełniać $ax-y=6$:

$2a-2=6,$

stąd $a=4$. Dla tej wartości drugie równanie wraz z $x+y=4$ daje ten sam punkt.

Sprawdzamy sumę rozwiązań dla każdej pary.

Równania I i II mają postać $x+2y=0$ oraz $x-y=6$. Ich rozwiązanie to $(4,-2)$, więc $x+y=2$.

Równania I i III dają z definicji III sumę $x+y=3$. Taką samą sumę daje para II i III. Najmniejsza suma, równa $2$, powstaje zatem dla I i II.

Mnożymy pierwsze równanie przez $2$, a drugie przez $3$:

$$\begin{cases} x-6y=-28,\\ 6x+y=54. \end{cases}$$

Z pierwszego $x=6y-28$. Po podstawieniu:

$36y-168+y=54,$

więc $y=6$, $x=8$. Odległość od początku układu wynosi

$\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{100}=10.$

Pierwszy warunek daje $x=0{,}2y$, a drugi $2x+y=84$:

$$\begin{cases} x=0{,}2y,\\ 2x+y=84. \end{cases}$$

Podstawiamy $x=0{,}2y$:

$0{,}4y+y=84,$

stąd $y=60$ i $x=12$.

I. Drugie równanie ma lewą stronę równą $-2$ razy lewej stronie pierwszego, lecz prawa strona powinna wtedy wynosić $-12$, a wynosi $5$. Układ jest sprzeczny.

II. Współczynniki nie są proporcjonalne, więc układ jest oznaczony.

III. Drugie równanie jest pierwszym pomnożonym przez $-3$, więc układ jest nieoznaczony.

IV. Drugie równanie jest pierwszym pomnożonym przez $-2$, więc układ jest nieoznaczony.

Pierwsze równanie po podzieleniu przez $3$ ma postać

$2x-3y=5.$

Drugie ma tę samą lewą stronę.

a) Dwie proste o identycznych współczynnikach nie mogą przeciąć się w jednym punkcie, więc taka liczba nie istnieje.

b) Dla liczby $5$ równania są identyczne — układ jest nieoznaczony.

c) Dla każdej liczby różnej od $5$ równania mają te same lewe strony i różne prawe — układ jest sprzeczny.