MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 11

a) Dwie kolejne liczby nieparzyste mają postać $2n+1$ i $2n+3$. Ich suma to $2n+1+2n+3=4(n+1),$ więc jest podzielna przez $4$.

b) Trzy kolejne liczby parzyste zapiszmy jako $2n$, $2n+2$, $2n+4$. Ich suma wynosi $6n+6=6(n+1),$ więc jest podzielna przez $6$.

c) Trzy kolejne wielokrotności $3$ to $3n$, $3(n+1)$ i $3(n+2)$. Ich suma jest równa $9n+9=9(n+1),$ zatem dzieli się przez $9$.

d) Jeżeli jeden z czynników jest parzysty, ma postać $2k$. Iloczyn z dowolną liczbą naturalną $r$ wynosi $2kr=2(kr)$, więc jest parzysty.

a) Dzielniki właściwe liczby $28$ to $1,2,4,7,14$, a ich suma wynosi $28$, więc liczba jest doskonała.

b) Dzielniki właściwe liczby $30$ mają sumę $1+2+3+5+6+10+15=42\ne30$.

c) Ponieważ $120=2^3\cdot3\cdot5$, suma wszystkich dzielników to $\sigma(120)=(1+2+4+8)(1+3)(1+5)=360.$ Suma dzielników właściwych wynosi więc $360-120=240\ne120$.

d) Dla $496=2^4\cdot31$ mamy $\sigma(496)=(1+2+4+8+16)(1+31)=31\cdot32=992.$ Suma dzielników właściwych wynosi $992-496=496$.

Suma cyfr liczby wynosi $15+x+y$.

a) Podzielność przez $15$ wymaga podzielności przez $3$ i $5$, więc $y\in\{0,5\}$ oraz $15+x+y$ ma być podzielne przez $3$, ale nie przez $9$.

Dla $y=0$ otrzymujemy $x\in\{0,6,9\}$, a dla $y=5$ otrzymujemy $x\in\{1,4\}$. Odrzucone wartości $x=3$ i $x=7$ dawałyby sumę cyfr podzielną przez $9$.

b) Podzielność przez $18$ wymaga parzystej cyfry $y$ i sumy cyfr podzielnej przez $9$. Liczba ma nie dzielić się przez $4$, zatem liczba $40+y$ nie może być podzielna przez $4$. Spośród cyfr parzystych pozostają $y=2$ oraz $y=6$. Warunek sumy cyfr daje odpowiednio $x=1$ i $x=6$.

Niech $q$ oznacza wspólną liczbę mieszkańców na jednym piętrze. Wówczas $q$ dzieli każdą z liczb $420$, $462$ i $504$. Ponieważ największy budynek ma najwyżej $15$ pięter, musi być $q\geq\frac{504}{15}>33.$ Mamy $\operatorname{NWD}(420,462,504)=42.$ Jedynym wspólnym dzielnikiem większym od $33$ jest więc $q=42$. Liczby pięter wynoszą kolejno $420:42=10,\qquad462:42=11,\qquad504:42=12.$

Niech wspólna wartość ilorazu i reszty będzie równa $q$. Z algorytmu dzielenia $N=41q+q=42q,$ przy czym $q<41$. Aby $N$ było największą liczbą trzycyfrową, wybieramy największe $q$ spełniające $42q\leq999$, czyli $q=23$. Stąd $N=42\cdot23=966$.

Z założeń istnieją $a,b\in\mathbb N$ takie, że $m=2a$ oraz $n=3b$. Wtedy $3m+2n=3\cdot2a+2\cdot3b=6(a+b),$ czyli badana liczba jest wielokrotnością $6$.

Modulo $3$ zachodzi $2\equiv-1$. Ponieważ $2019$ jest nieparzyste, $2^{2019}\equiv(-1)^{2019}\equiv-1\equiv2\pmod3.$

Liczby pomiędzy $n$ i $m$ liczymy bez końców przedziału.

a) Gdy oba końce są parzyste, $m-n=2k$. Między nimi jest $k$ liczb nieparzystych i $k-1$ parzystych.

b) Gdy oba końce są nieparzyste, ponownie $m-n=2k$, lecz teraz między nimi jest $k$ liczb parzystych i $k-1$ nieparzystych.

c) Przy różnej parzystości końców $m-n=2k+1$. Wewnątrz znajduje się po $k$ liczb każdego rodzaju.

Każda liczba daje przy dzieleniu przez $3$ resztę $0$, $1$ albo $2$.

Jeśli co najmniej trzy z pięciu liczb mają tę samą resztę, wybieramy te trzy. Suma ich reszt wynosi odpowiednio $0$, $3$ albo $6$, więc suma liczb jest podzielna przez $3$.

W przeciwnym razie w każdej klasie reszt są najwyżej dwie liczby. Pięć liczb musi się wtedy rozłożyć jako $2,2,1$, więc każda z trzech klas jest niepusta. Wybieramy po jednej liczbie z każdej klasy; suma reszt $0+1+2=3$ znów jest podzielna przez $3$.