MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 118

Stosujemy podstawianie.

a) Z pierwszego równania $y=3$. W drugim: $1+x+3=5x$, więc $x=1$.

b) Z drugiego równania $x=6$. W pierwszym: $12-3y=0$, więc $y=4$.

c) Z drugiego równania $x=3$. Pierwsze daje $-9-3y=1-y$, zatem $-2y=10$ i $y=-5$.

a) Z równania I mamy $y=3x+4$. Po podstawieniu do II: $x+2(3x+4)=15$, więc $(x,y)=(1,7)$.

b) Z II mamy $x=15-2y$. W III: $-2(15-2y)+3y=5$, więc $(x,y)=(5,5)$.

c) Podstawiamy $y=3x+4$ z I do III: $-2x+3(3x+4)=5$, więc $(x,y)=(-1,1)$.

W każdym układzie wyznaczamy jedną niewiadomą i podstawiamy ją do drugiego równania.

a) $y=2x-7$, więc $-3x+4(2x-7)=-3$. Stąd $x=5$, $y=3$.

b) Po dodaniu równań $-2x=-2$, więc $x=1$, $y=4$.

c) $x=-5-4y$. Drugie równanie daje $-10-3y=-7$, zatem $x=-1$, $y=-1$.

d) Z układu $5x+4y=-1$, $3x+7y=4$ otrzymujemy $23y=23$, czyli $x=-1$, $y=1$.

e) Po podzieleniu pierwszego równania przez $2$ mamy $x-4y=19$. Podstawienie do drugiego daje $y=-5$, $x=-1$.

f) Z pierwszego równania $y=1{,}5x-5$. Drugie daje $-0{,}5x=-2$, więc $x=4$, $y=1$.

a) Drugie równanie upraszcza się do $x+4y=8$. Z $2x-3y=-6$ otrzymujemy $y=2$, $x=0$.

b) Pierwsze równanie daje $x+y=5$, a drugie $-x+3y=7$. Stąd $y=3$, $x=2$.

c) Z pierwszego równania $y=\frac{x+13}{2}$. Drugie po pomnożeniu przez $5$ daje $y=-3x-4$. Porównanie wyrażeń prowadzi do $7x=-21$, więc $x=-3$, $y=5$.

Porównujemy równania po sprowadzeniu ich do tej samej postaci.

a) Drugie równanie jest równoważne $x+2y=4$ — układ nieoznaczony.

b) Równania mają nieproporcjonalne współczynniki — układ oznaczony.

c) Drugie równanie po pomnożeniu przez $3$ jest pierwszym — układ nieoznaczony.

d) Lewe strony są proporcjonalne, ale prawe różne — układ sprzeczny.

e) Z $7y=3x$ wynika $6x-14y=0$, co przeczy pierwszemu równaniu — układ sprzeczny.

f) Równania $x+y=0$ i $x-y=0$ mają jedno rozwiązanie $(0,0)$ — układ oznaczony.

Para $(5,2)$ spełnia układy I i III. W układzie II drugie równanie daje $3(5+2)-2(5-2)=15\ne-6$, więc rozwiązujemy właśnie ten układ.

Po uproszczeniu:

$$\begin{cases} -4x+y=-18,\\ x+5y=-6. \end{cases}$$

Z pierwszego równania $y=4x-18$. Podstawienie do drugiego daje $21x=84$, więc $x=4$, $y=-2$.