MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 117

Ze skanu odczytujemy czerwone punkty $(0,0)$ i $(1,2)$, więc pierwsza prosta ma równanie $y=2x$. Niebieskie punkty, na przykład $(0,6)$ i $(1,5)$, spełniają równanie $x+y=6$. Szukany układ to

$$\begin{cases} y=2x,\\ x+y=6. \end{cases}$$

Podstawiamy $y=2x$: $3x=6$, zatem $x=2$, $y=4$. Punkt $(2,4)$ leży na obu prostych.

W każdym równaniu wybieramy parametr całkowity $k$ tak, aby jedna niewiadoma była całkowita, a następnie wyznaczamy drugą.

a) Z kongruencji $4x\equiv0\pmod5$ mamy $x=5k$, więc $y=4-4k$.

b) $2x\equiv0\pmod3$, więc $x=3k$, $y=2-2k$.

c) $3x\equiv0\pmod2$, więc $x=2k$, $y=3k-4$.

d) $3x\equiv0\pmod5$, więc $x=5k$, $y=2-3k$.

Niech liczba ma cyfry $a,b$, więc ma wartość $10a+b$. Po przestawieniu cyfr:

$10b+a=10a+b+63,$

$9(b-a)=63,$

$b=a+7.$

Ponieważ $a\in\{1,\ldots,9\}$ i $b\le9$, możliwe są tylko $(a,b)=(1,8)$ oraz $(2,9)$.

Niech $x$ i $y$ oznaczają dodatnie liczby monet odpowiednio $2$-złotowych i $5$-złotowych. Mamy

$2x+5y=28.$

Liczba $y$ musi być parzysta. Dla dodatnich $y<\frac{28}{5}$ są możliwe $y=2$ i $y=4$. Otrzymujemy odpowiednio $x=9$ oraz $x=4$.

Niech $x$ oznacza liczbę pokojów $3$-osobowych, a $y$ liczbę pokojów $4$-osobowych. Szukamy nieujemnych rozwiązań całkowitych równania

$3x+4y=30.$

Modulo $3$ mamy $y\equiv0\pmod3$. Dla $4y\le30$ otrzymujemy $y\in\{0,3,6\}$. Odpowiadają im kolejno $x=10,6,2$.

Niech $k=10a+b$. Po wpisaniu cyfry $2$ między cyfry otrzymujemy $100a+20+b$. Warunek daje

$100a+20+b=9(10a+b),$

$5a+10=4b.$

Dla cyfr $a\in\{1,\ldots,9\}$ i $b\in\{0,\ldots,9\}$ jedynym rozwiązaniem jest $a=2$, $b=5$.

Niech szukany ułamek ma postać $\frac{x}{y}$. Warunek niezmienności wartości daje

$\frac{x}{y}=\frac{x+2}{y+4},$

$x(y+4)=y(x+2),$

$4x=2y,$

czyli $y=2x$. Aby ułamek był nieskracalny, musi być $x=1$, $y=2$.

Niech $x,y,z$ oznaczają liczby kartonów o pojemnościach odpowiednio $2$ l, $0{,}5$ l i $0{,}25$ l. Mamy

$x+y+z=12,$

$2x+0{,}5y+0{,}25z=12.$

Po pomnożeniu drugiego równania przez $4$ i odjęciu pierwszego:

$7x+y=36.$

Stąd $y=36-7x$ oraz $z=12-x-y=6x-24$. Wszystkie trzy liczby mają być dodatnie, więc jedyną możliwością jest $x=5$, $y=1$, $z=6$.

Niech $k=10a+b$, gdzie $a$ jest cyfrą dziesiątek.

a) $10a+b=2(a+b)$, więc $b=8a$. Warunki cyfr daje jedynie $a=1$, $b=8$.

b) $10a+b=4(a+b)$, więc $b=2a$. Dla $a=1,2,3,4$ otrzymujemy odpowiednio $b=2,4,6,8$.

Dopisanie cyfry $5$ z lewej strony daje liczbę $500+x$, a z prawej $10x+5$. Pierwsza jest o $27$ mniejsza:

$500+x=10x+5-27,$

$522=9x,$

$x=58.$