MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 116

Podstawiamy w każdym podpunkcie wskazaną parę.

a) $3+2m=7$ i $3n-4=5$, więc $m=2$, $n=3$.

b) $m=0+0=0$ oraz $n=0-2\cdot0=0$.

c) $-2m=-2$ i $n=2(-2)+3\cdot0$, więc $m=1$, $n=-4$.

d) $m=2\cdot5-9\cdot2=-8$ oraz $n=5+4\cdot2=13$.

Podstawiamy $x=k$ i $y=2$ do pierwszego równania:

$-2k+2=8,$

stąd $k=-3$. Drugie równanie ma więc postać

$3(-3)-2m=1,$

$-2m=10,$

czyli $m=-5$.

Wybierzmy parę przeciwną $x=-1$, $y=1$. Pierwsze równanie wymaga

$-1-a=-8,$

więc $a=7$. Z drugiego równania

$b=2(-1)+1=-1.$

Oba równania są zatem spełnione przez $(-1,1)$.

a) Niech $x$ będzie cyfrą setek. Cyfra dziesiątek to $x+1$, więc liczba początkowa ma wartość $100x+10(x+1)$, a liczba po zamianie $100(x+1)+10x$. Druga jest o $75\%$ większa:

$1{,}75[100x+10(x+1)]=100(x+1)+10x.$

b) Jeżeli cyfrę dziesiątek oznaczymy przez $y$, zależności zapisuje układ

$$\begin{cases} x=y-1,\\ 1{,}75(100x+10y)=100y+10x. \end{cases}$$

Niech $x$ oznacza czas jazdy pod górę, a $y$ czas jazdy w dół, w godzinach. Łączny czas i droga dają układ

$$\begin{cases} x+y=6,\\ 48x+54y=300. \end{cases}$$

Po podstawieniu $y=6-x$:

$48x+54(6-x)=300,$

$-6x=-24,$

więc $x=4$ i $y=2$.

Eliminując niewiadome z układu, otrzymujemy jego jednoznaczne rozwiązanie

$x=-1,\qquad y=2.$

Rzeczywiście,

$123(-1)+456\cdot2=789,$

$987(-1)+654\cdot2=321.$

Zatem

$xy=(-1)\cdot2=-2<0,$

co kończy dowód.

Eliminujemy $y$. Wyznacznik układu wynosi

$97\cdot295-133\cdot217=-246.$

Wyznacznik dla niewiadomej $x$:

$92\cdot295-133\cdot905=-93225.$

Stąd

$x=\frac{-93225}{-246}=\frac{31075}{82}.$

Licznik nie jest podzielny przez $82$, więc $x$ nie jest liczbą całkowitą. Tym samym para $(x,y)$ nie może być parą liczb całkowitych.