MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 114

Podstawiamy wskazane pary do czterech równań.

a) Dla $(2,-3)$:

$2-2(-3)=8\ne5,\quad 6\cdot2-3=9,$

$53\cdot2+2(-3)=100\ne1,\quad 2-(-3)=5.$

Spełnione są równania II i IV.

b) Dla $(5,0)$:

$5-2\cdot0=5,\quad 6\cdot5+0=30\ne9,$

$53\cdot5+0=265\ne1,\quad 5-0=5.$

Spełnione są równania I i IV.

Do równania $x+y=9$ wystarczy dołączyć równanie ustalające pierwszą współrzędną.

a) Dla $x=-1$ pierwsze równanie daje $y=10$.

b) Dla $x=10$ pierwsze równanie daje $y=-1$.

W każdym przypadku proste przecinają się w dokładnie jednym punkcie.

Najprościej użyć dwóch równań, które bezpośrednio ustalają obie współrzędne. Każda wskazana para spełnia wówczas swój układ.

a) Dla $x=-5$, $y=-1$ pierwsza lewa strona wynosi $6(-5)-2(-1)=-28\ne32$, a druga $-5+3(-1)=-8\ne2$. Para nie spełnia układu.

b) Rozwiązujemy układ. Z $3x-y=16$ mamy $y=3x-16$. Zatem

$x+3(3x-16)=2,$

$10x=50,$

$x=5,\qquad y=-1.$

Wystarczy więc zmienić pierwszą liczbę z $-5$ na $5$.

Pierwsze równanie można zapisać jako

$8x-y=20.$

a) Dla $(3,4)$ mamy $8\cdot3-4=20$, więc pierwsze równanie jest spełnione. Drugie daje

$a=6\cdot4-8\cdot3=0.$

b) Dla $(1,2)$ pierwsze równanie daje $8-2=6\ne20$. Żaden wybór $a$ nie może tego zmienić.

a) Z $x-y=0$ mamy $x=y$. Wtedy $2x=10$, więc $(x,y)=(5,5)$.

b) Odejmujemy pierwsze równanie od drugiego: $x=0$, a stąd $y=4$.

c) Pierwsze równanie daje $x+y=2$. Po podstawieniu $y=2-x$ do $-3x+y=-2$ otrzymujemy $-4x+2=-2$, więc $(x,y)=(1,1)$.