MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 111

Mnożymy nierówność przez dodatnią liczbę $6$:

$3(1-2x)>2,$

$3-6x>2,$

$-6x>-1.$

Po podzieleniu przez $-6$ zmieniamy zwrot nierówności:

$x<\frac16.$

Upraszczamy pierwszą liczbę:

$x=\frac{2}{\sqrt2}+1=\sqrt2+1.$

Ponieważ $x^2-2xy+y^2=(x-y)^2$, otrzymujemy

$x-y=(\sqrt2+1)-(\sqrt2-1)=2,$

$(x-y)^2=4.$

Z równości kwadratów wynika

$x\sqrt2-2=2+\sqrt2$

albo

$x\sqrt2-2=-(2+\sqrt2).$

Drugi przypadek daje $x\sqrt2=-\sqrt2$, czyli $x=-1$. Jest to jedyna wartość występująca wśród podanych odpowiedzi.

Mnożymy każdy składnik pierwszego nawiasu przez każdy składnik drugiego:

=-9x^5-6x^3+6x^3+4x =-9x^5+4x.$$

Oznaczmy $t=|x|$, zatem $t\ge 0$. Równanie ma postać

$|t-2|=t+2.$

Dla $t\ge2$ otrzymalibyśmy $t-2=t+2$, co jest niemożliwe. Dla $0\le t<2$ mamy

$2-t=t+2,$

więc $t=0$. Stąd $|x|=0$, czyli $x=0$. Równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie.

Usuwamy wartość bezwzględną:

$-10\le 2x-8\le 10.$

Dodajemy $8$ i dzielimy przez $2$:

$-1\le x\le 9.$

Na osi zaznaczono więc przedział $\langle-1;9\rangle$, zatem jego prawym końcem jest $k=9$.

Obie strony są nieujemne, więc możemy podnieść nierówność do kwadratu:

$x^2<(x-1025)^2.$

Po rozwinięciu i skróceniu $x^2$:

$0<-2050x+1025^2,$

$x<\frac{1025}{2}=512{,}5.$

Największą liczbą całkowitą mniejszą od $512{,}5$ jest $512$.

Przekształcamy lewą stronę do sumy kwadratów:

$$x^4-x^2-2x+3 =(x^2-1)^2+(x-1)^2+1.$$

Kwadraty liczb rzeczywistych są nieujemne, więc

$$(x^2-1)^2+(x-1)^2+1\ge 1>0.$$

Nierówność jest zatem prawdziwa dla każdego $x\in\mathbb R$.